Hilbert空间中随机变量的一点几何直觉
文章目录
- 离散型随机变量对应到空间中的点
- 内积与范数
- 期望
- 中心化的随机变量
随机变量 X X X可以看作Hilbert空间中的元素。本文介绍一点关于随机变量的一点初等的几何直觉。
离散型随机变量对应到空间中的点
为了直观地可视化，我们假设 Ω = { ω 1 , ω 2 , ω 3 } \Omega=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\} Ω={ ω1,ω2,ω3}， F = 2 Ω \cal{F} = 2^\Omega F=2Ω，对于任意 i i i都有 P ( ω i ) = p i P(\omega_i)=p_i P(ωi)=pi，且 p 1 + p 2 + p 3 = 1 p_1+p_2+p_3 = 1 p1+p2+p3=1。
于是，随机变量 X : Ω → R X:\Omega\to\mathbb{R} X:Ω→R可以看作是三维空间中的一个点。一个简单的想法是看作点 ( X ( ω 1 ) , X ( ω 2 ) , X ( ω 3 ) ) (X(\omega_1),X(\omega_2),X(\omega_3)) (X(ω1),X(ω