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电磁场中的静态与定态两个概念

news 2025/11/16 8:24:44

首先，我们需要理解“静态”是“定态”的一个真子集。也就是说：

为了清晰起见，我们以下述符号表示：

这是最简单、最理想化的情况。

所谓静态场，是指场源（电荷、电流）和场本身（E, B）都不随时间变化。一切都处于一种绝对的“冻结”状态。

用数学语言表达就是：

∂E∂t=0,∂B∂t=0∂t∂E=0,∂t∂B=0

所有对时间的偏导数都为零。

在静态条件下，麦克斯韦方程组中所有与时间导数相关的项都变为零，方程组退耦为两个独立的部分：

静电场 (由静止电荷产生)：
- ∇ · E = ρ / ε₀ (高斯定律)
- ∇ × E = 0 (静电场是无旋场，保守场)
- 描述：电场线从正电荷发出，终止于负电荷。可以定义电势 E = -∇V。
静磁场 (由稳恒电流产生)：
- ∇ · B = 0 (高斯磁定律)
- ∇ × B = μ₀ J (安培定律)
- 描述：磁场线是闭合的环路。由稳定的电流产生。

能量：场能量密度 (1/2)ε₀E² 和 (1/2μ₀)B² 是恒定的，不随时间变化。
能量流动：没有能量的流动。坡印廷矢量 S = (1/μ₀) E × B 在任何一个点上都可能为零（如果只有E或只有B）或者是一个恒定的矢量，但它不表示能量的净传输。例如，一个永久磁铁和一个静止电荷构成的系统，其坡印廷矢量可能形成一个闭合的环流，能量在原地循环，但不向外辐射。
例子：
- 一个孤立的、不带电的永久磁铁周围的磁场。
- 一个带电导体球（电荷不再移动）周围的电场。
- 一个由理想电池驱动的、电流恒定的无限长直导线周围的磁场（这是一个近似，因为导线必须无限长才能避免边缘效应）。

这是一个更广义的概念，条件比静态场要宽松。

所谓定态场，是指场源（电荷分布ρ和电流分布J）不随时间变化，但由此产生的场本身（E, B）可以随时间变化。

更精确地说，定态场是指场的时间变化率是恒定的，或者说场以一种稳定的、可预测的模式随时间变化（例如正弦振荡），其统计特性（如能量密度平均值）不随时间改变。

在定态条件下，麦克斯韦方程组保持耦合，因为 ∂E/∂t 和 ∂B/∂t 可以不为零。

∇⋅E=ρε0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t（非常重要！）∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t∇⋅E∇⋅B∇×E∇×B=ε0ρ=0=−∂t∂B（非常重要！）=μ0J+μ0ε0∂t∂E

法拉第定律和安培-麦克斯韦定律中的时间导数项是关键！它们意味着：

能量：场的能量密度可能在空间某点随时间波动，但其时间平均值是稳定的。
能量流动：存在稳定的能量流。坡印廷矢量 S 的时间平均值不为零，表示能量在持续地、定向地传播。这是定态与静态最核心的区别。
例子：
1. 一个振荡电偶极子（天线）在远场区域产生的电磁场：这是最经典的定态但不是静态的例子。场源（天线中的交变电流）以恒定频率振荡，产生的电磁场也以相同频率振荡，并携带能量以电磁波的形式向外辐射。在远离天线的区域，电场和磁场都在做正弦变化，但能流是稳定向外传播的。
2. 激光束：一束理想的、强度稳定的激光，其内部的电磁场在快速振荡，但能流（功率）是恒定的，能量稳定地沿着光束方向传播。
3. 在波导中传播的电磁波：电磁场在波导内以复杂的模式分布并随时间变化，但整体上形成一个稳定的传输模式，能量持续地从一端流向另一端。

为了更直观地理解，我们可以用一个表格来总结：