红黑树分析 1

绪论

从入门到入土。我只能说，很多东西都是越早做完越好，因为这样后面才有更多的时间复盘和分析。卡时间到最后一刻，就是极限，极限情况，基本就是把一部分选择权交给运气了。这有点无奈呢。

所以的话，趁现在还有时间，尽量多把重点突破一下。把重点吃透，然后就可以了。高频多轮，尽早结束复习，然后多重复几遍，对于我要考试的任何一个科目，都是这个复习思路。压力好大。我感觉专业课这个东西，真的有点。好吧。也没有那么难。我要是早点复习完就好了。现在不断保温心里就不会那么慌张了。

现在就是要硬顶住。谁无暴风劲雨时，守得云开见月明。

今天还有充足的时间，我要花费这些时间，把那个红黑树这个板块给突破过去。然后剩下的时间学一点文科，数学的内容。学到大概晚上十二点睡觉得了。

动机

局部性原理就用伸展树。从 IO 角度可以引入 B-树。

BST, AVL, Splay, B-Trees, Red-Black.

红黑树让 AVL 没有那么平衡。

红黑树的操作，怎么和加锁解锁有些关系。深入地钻研，就可以了。study 就是研究的意思。颜色变化可能不需要进行加锁和解锁。

总的这个结构就是动机，性质，插入和删除四个部分。实际上 ppt 上面分类得非常仔细。我的关键就是找到考过的题，然后把它们分析透彻就可以了。数了一下，真题总共就是 10 年真题。严谨地考虑实际上颜色变化也需要加锁，但是这里颜色变化没有加锁。只关注数据，不关注颜色。就是这样。

性质

红色节点只能有黑色的孩子，也只能有黑色的父亲。外部节点必须是黑色的。树根必须是黑色的。耳机没电了，必须学一下数学了？。。。

25 年 t16

这题难度倒是不大。计算量稍微有点大。就是基本公式的简单计算。真题里面实际上非常非常有门道的。数学最重要的就是真题资料。之前还是没有重视起来。

试了一下下面的一道类似的题，实际上计算量比数一的题更大一些。

今年考研只要出一个类似的题，我必须把它秒了。

25 年 t15

这题我们注意到可以在一分钟之内算出来这个题的答案。同解可以得到秩相等，我们否定这个结论，也就是秩不相等，当然只需要否定中间任何一步就可以了。因为是一个矩阵的平方，乘以一个满秩的矩阵肯定是不变秩的，所以肯定是不满秩的。从而得到行列式为零。注意到第一行＋第二行就是第三行，然后移项就是我们需要的答案。

25 年 t14

这个题用格林公式是一个纯基础题。就是套一个格林公式，补一条线，非常裸。我考试的时候多写了一个负号。因为我对 $cox$ 求积分有点没求对。我实际上不担心考试的时候难题写不出来。实际上本来就没想着把难题写出来。我只需要保证简单的题，考试的时候看到就秒就可以了。

用第二型的参数方程也可以算。这里是把 x 看成一个参数，然后把式子里面所有的式子都换成参数。要是不熟练可以把 x 换成 t , 把 y 也换成 t. 这样直接就出来了。注意用一下对称性。这样可以减小一些计算量。

25 year t13

考察方向导数的定义。就是求偏导之后乘以方向余弦，累加就是方向导数。散度和高斯差不多。旋度和斯托克斯差不多。

散度用 div 来表示。旋度用 rot 来表示。

grad 是梯度。

intensify 240

梯度结合散度，是一个好题。非常巧妙地利用了对称性，减小了计算量。

intensify 241

旋度的简单题。感觉讲义的 448 题还是没有刷透。要是刷透了。感觉不是现在这个感受。刷透了自己肯定就有 120 130 这个实力了。

25 year t12

傅里叶级数的简单题。用一个迪利克雷就出来了。但是我感觉自己的傅里叶级数的公式还是没有记到脑子里面。还是不够深刻。我感觉只要自己遇到一次傅里叶级数的题，就抄一遍傅里叶级数的公式吧。这样提醒自己记忆公式。数学就是最重要的。但是现在好像我专业课更加重要一些。

偶函数部分，n 是从 0 开始计算的。奇函数部分，n 是从 1 开始计算的。

intensify 266

是类似的题。几乎就是一样的题。我在考虑，是否就是刷卷子的时候，回归到强化讲义，然后把同类的题，刷一遍。？？？这样是否可行呢。应该是可行的。就这么干。

intensify 267

这题是要记住公式。记住公式之后一顿算就可以了。没啥难的，算是一个普通的中档题。我的目标是每个中档题都要消灭。

25 年 t11

貌似非常简单。绝对是送分题。

intensify 9

这题有点没写出来，也不是不会做。有点无奈了。也不是会写，实际上是有一个小细节处理不好，就是提一个 $e^2$ 之后是做一个减法，不是直接在那个乘法式子里面提一个因子出来。实际上是一个坑点。

intensify 10

这题有点无奈。感觉是一道比较困难的极限题了。下次遇到一定要把它秒了。

intensify 11

构造了一个对数函数的减法，变成了真数的除法。比较优秀。

intensify 12

倒代换的手法也不是很熟悉。感觉极限题实际上是有些讲究的。

intensify 13

不是吧。这个题也搞不出来。用了一下 $1^{\infty }$ 是以 e 为底，原来的指数乘以底数减去 1，作为新的指数，然后再用一个等价无穷小。这个等价无穷小我用的比较少。

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老实了。这题也有难度。反双曲正弦求导，必须直接记住吧。我承认极限题都是有难度的题。

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往下面洛一步就出来了。但是我不知道为啥没有往下面洛必达了。我估计是因为没有化简。所以化简也是非常重要的。因为没有化简到一个比较优雅的形式，不敢洛必达。

感觉学习半个小时就要休息一下。因为在家主要就是对着电脑。长时间对着电脑比长时间对着书本更加容易眼睛疲劳。我必须注意一下。之前因为长时间对着电脑眼睛疲劳，差不多有一两天无法正常学习。我印象很深刻。也许需要主动眨一眨眼睛。。。

感觉强化讲义上面不会做的题还有很多，还得静下心来慢慢做一些题。就是把强化讲义上面的题吃透。感觉还是没有吃透。

红黑树的性质

树根必须是黑色的，外部节点必须是黑色的。红色的节点只能有黑色的孩子，红色的节点只能有黑色的父亲。外部节点的黑深度相等。外部节点的黑的真祖先数目相等。也是根的黑高度。也是全树的黑高度。子树的黑高度是外部节点的相对黑深度。

九点的时候休息一下眼睛。感觉这么整，眼睛有点吃不消。

比较难的知识点，就是红黑树的删除和 gs 表稍微难一点。干脆就是 all in 专业课了。感觉专业课不能提升到 90 分以上的水平还是很慌张的。。。

自律一点，目前唯一的目标就是把重点的知识点搞得滚瓜烂熟。就可以了。

双红

假设叔父的颜色是黑色的，那么就是先把双红和祖父合并为一个超级节点，然后把中间的染黑，两侧的染红，最后把超级节点分裂。就可以了。

RR1 就是这个情况。滚瓜烂熟就完事了。

u 是红色的。

也就是双红，然后叔父是红色的。前面那个是叔父是黑色的。

RR-2 这种实际上也许是最简单的。因为我们从结果来看待这个情况，就只需要染色就可以了。结构上不需要进行调整。只是这种情况有可能出现持续双红的情况，需要递归地进行调整。

就是两种情况。实际上也不难。反反复复就可以了。

红黑树插入就只有两种情况吗。就是双红加上考虑 u 的红黑的情况？？？就这么简单还是咋回事儿。相当于 RR-1 需要重构 + 染色，RR-2 只需要染色就可以了。反复就是最好的方法。滚瓜烂熟。

3+4 重构

历史的回旋镖。AVL 那块儿的知识点没有吃透。没有滚瓜烂熟，现在复习红黑树有点不够熟练。我现在唯一的目标就是滚瓜烂熟。就是对于没有复习过的知识点无所谓。没有做过的练习题也是无所谓。要是做过，复习过的知识点，唯一的目标就是滚瓜烂熟。

总结那里说的旋转就是结构调整。如果 u 是黑的，就是 RR-1 ，如果 u 是红的，就是 RR-2.

插入

这里的插入是需要按照二叉搜索树的规则来进行插入的。也就是左孩子比根节点小，右孩子比根节点大。

感觉自己对红黑树的插入理解得非常深刻了。

RR-1 调整的是 v p g 三者。就是把中间的点提上去作为根，然后染黑，两侧的染红。RR-2 是纯染色，就是不需要进行结构调整，直接把 g 染红，两侧的染黑。RR-2 可能持续向上传播。按照这个 RR-1 和 RR-2 持续处理一直到不出现双红，或者到树根为止，然后，到树根如果出现了树根是红节点的话，直接强行染黑，整个红黑树的黑高度增加一。

当我们考虑染色次数的时候，RR-1 染色次数是 2，也就是把根节点染成黑色，把一个孩子节点染成红色。RR-2 染色次数是 3，也就是把根节点染成红色，两侧的孩子节点染成黑色。

双红表示的意思是，自己和自己的父亲是红色的，需要调整，然后根据叔父是否是红的，可以分成两种情况。u 是黑的就是 RR-1 ，u 是红的就是 RR-2.

滚瓜烂熟

master thoroughly

连续双红的序列，可以用于测试

10，9，7，8，5，4，6，3，1