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好的！让我们一步步理解 LeetCode 1010. 总持续时间可被 60 整除的歌曲 这道题，并使用 C++ 实现高效解法。

题目分析

题目描述：
给定一个整数数组 time，其中每个元素表示一首歌曲的持续时间（以秒为单位）。请计算总持续时间（两首歌曲的持续时间之和）可被 60 整除的歌曲对的数量。

示例：
输入：time = [30, 20, 150, 100, 40]
输出：3
解释：

• (30, 150)：30 + 150 = 180（180 % 60 = 0）
• (20, 100)：20 + 100 = 120（120 % 60 = 0）
• (20, 40)：20 + 40 = 60（60 % 60 = 0）

暴力解法（超时）

思路：
枚举所有可能的歌曲对 (i, j)（i < j），检查它们的持续时间之和是否能被 60 整除。

代码：

class Solution {
public:int numPairsDivisibleBy60(vector<int>& time) {int count = 0;for (int i = 0; i < time.size(); i++) {for (int j = i + 1; j < time.size(); j++) {if ((time[i] + time[j]) % 60 == 0) {count++;}}}return count;}
};

复杂度：

• 时间复杂度：O(n²)，其中 n 是数组长度。
• 空间复杂度：O(1)。

优化解法：余数统计 + 互补余数

核心思路：

1. 余数分解：将每首歌曲的持续时间 t 对 60 取余，得到余数 r = t % 60。
2. 互补余数：对于每个余数 r，其互补余数为 (60 - r) % 60。
3. 哈希表统计：使用数组 remainderCount 统计每个余数出现的次数。遍历数组时，累加当前余数的互补余数的出现次数，并更新当前余数的计数。

代码：

class Solution {
public:int numPairsDivisibleBy60(vector<int>& time) {vector<int> remainderCount(60, 0);int result = 0;for (int t : time){int remainder = t % 60;int target = (60 - remainder) % 60;result += remainderCount[target];remainderCount[remainder]++;}return result;}
};

复杂度：

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组长度。
• 空间复杂度：O(1)，因为余数数组的大小固定为 60。

详细解释

1. 余数分解：
   对于任意整数 t，可以分解为 t = 60k + r（其中 r 是余数，0 ≤ r < 60）。
   若有两个数 t1 = 60k1 + r1 和 t2 = 60k2 + r2，则它们的和为：
   [
   t1 + t2 = 60(k1 + k2) + (r1 + r2)
   ]
   当且仅当 (r1 + r2) % 60 = 0 时，(t1 + t2) % 60 = 0。

2. 互补余数：

   • 若 r1 = 0，则 r2 必须为 0。
   • 若 r1 ≠ 0，则 r2 = 60 - r1。
     例如：
   • r1 = 20，则 r2 = 40（因为 20 + 40 = 60）。
   • r1 = 30，则 r2 = 30（因为 30 + 30 = 60）。

3. 哈希表统计：

   • 使用数组 remainderCount 记录每个余数的出现次数。
   • 遍历数组时，对于当前余数 r，累加 remainderCount[(60 - r) % 60]，再更新 remainderCount[r]。
   • 这样可以确保每个配对只被计算一次（例如 (i, j) 不会重复计算为 (j, i)）。

示例验证

输入：time = [30, 20, 150, 100, 40]
步骤如下：

1. 处理 30：余数 r = 30，互补余数 target = 30，remainderCount[30] = 0，结果 += 0，更新 remainderCount[30] = 1。
2. 处理 20：余数 r = 20，互补余数 target = 40，remainderCount[40] = 0，结果 += 0，更新 remainderCount[20] = 1。
3. 处理 150：余数 r = 30，互补余数 target = 30，remainderCount[30] = 1，结果 += 1，更新 remainderCount[30] = 2。
4. 处理 100：余数 r = 40，互补余数 target = 20，remainderCount[20] = 1，结果 += 1，更新 remainderCount[40] = 1。
5. 处理 40：余数 r = 40，互补余数 target = 20，remainderCount[20] = 1，结果 += 1，更新 remainderCount[40] = 2。

最终结果：0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 3，与预期一致。

总结

通过余数统计和互补余数的思想，我们将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)，空间复杂度为 O(1)。这种方法适用于所有类似的“和能被 k 整除”的问题，核心在于利用余数的互补性快速查找配对。