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3.根据定义证明：函数$y=\frac{1+2x}{x}$为当$x\to 0$时的无穷大，问$x$应满足什么条件，能使$|y|>10^4$?

$$\begin{gathered} (1)证明： \\ \forall M>0,要使|\frac{1}{x}+2|\ge |\frac{1}{x}|-2>M， \\ 需0<|x|<\frac{1}{M+2} \\ 令\delta =\frac{1}{M+2}，当0<|x|<\delta ，\forall M>0时，有 \\ |frac1+2xx|>M即 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+2x}{x}=\infty \\ (2) \\ 令M=10^4，|y|>10^4,即|\frac{1+2x}{x}|>10^4 \\ 0<|x|<\frac{1}{M+2}=\frac{1}{10^4+2} \\ 即当0<|x|<\frac{1}{M+2}=\frac{1}{10^4+2}时，|y|>10^4 \end{gathered}$$

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表

	$f(x)\to A$	$f(x)\to \infty$	$f(x)\to +\infty$	$f(x)\to -\infty$
$x\to x_0$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist \delta \gt 0,当0\lt	x-x_0	\lt \delta时，有	f(x)-A
$x\to x_0^{+}$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist \delta \gt 0,当0\lt x-x_0\lt\delta时有，	f(x)-A	\lt\epsilon $	$\forall M\gt 0,\exist \delta \gt 0,当0\lt x-x_0\lt\delta时，有
$x\to x_0^{-}$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist \delta \gt 0,当0\lt x_0-x\lt\delta时有，	f(x)-A	\lt\epsilon $	$\forall M\gt 0,\exist \delta \gt 0,当0\lt x_0-x\lt\delta时，有
$x\to \infty$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist X \gt 0,当	x	\gt X时有，	f(x)-A
$x\to +\infty$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist X \gt 0,当x \gt X时，有	f(x)-A	\lt\epsilon $	$\forall M\gt 0,\exist X \gt 0,当x\gt X时，有
$x\to -\infty$	$\forall \epsilon\gt 0,\exist X \gt 0,当x \lt -X时，有	f(x)-A	\lt\epsilon $	$\forall M\gt 0,\exist X \gt 0,当x\lt -X时，有

6.函数$y=x\cos x在(-\infty ,+\infty )$内是否有界？这个函数是否为$x\to +\infty$时的无穷大？为什么？

$$\begin{gathered} 解： \\ 函数y=x\cos x在(-\infty ,+\infty )内无界；这个函数不是当x\to +\infty 的无穷大。 \\ 当x=2k\pi ,k\in N^{+}时，y=x;k\to +\infty 时，y\to +\infty \\ \therefore y=x\cos x在(-\infty ,+\infty )内无界 \\ 当x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in N^{+}时，y=0 \\ \therefore y=x\cos x不是当x\to +\infty 时的无穷大。 \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p33-38.

[2]《高等数学》课后习题，兼容同济七版和八版[CP/OL].2024-09-01.p9.