【2024年莆田市校园创客节（小学组）初赛】期中考试

期中考试

题目描述

问题描述

班级有 a 名学生，b 门课程。已知每门课程的满分人数，求班上至少有多少人所有课程都考到满分（全满分人数最小值）。若不可能存在全满分学生，输出 0。

输入格式

• 第一行：两个正整数 a（学生总数）和 b（课程数量）；
• 接下来 b 行：每行一个整数 s_i（第 i 门课程的满分人数）。

输出格式

一个整数，表示最少全满分人数。

样例输入输出

样例输入 1

40 5
33
36
30
28
39

样例输出 1

6

样例输入 2

55 3
16
30
25

样例输出 2

0

数据范围

• 30% 数据：b = 2；
• 100% 数据：5 ≤ a ≤ 50000，1 < b ≤ a/2，0 ≤ s_i ≤ a。

解题思路

核心思想：贪心推导公式

要找最少全满分人数，核心是让非全满分学生尽可能多分担各课程满分名额，从而减少全满分人数。

公式推导关键步骤

1. 设全满分人数为 x，则每门课程剩余满分名额为 s_i - x（由非全满分学生承担）；
2. 非全满分学生共 a - x 人，每人最多在 b-1 门课程得满分（否则就是全满分），最多能承担 (a - x) * (b - 1) 个满分名额；
3. 所有课程剩余满分名额总和 ≤ 非全满分学生最大承担量，化简后得到：
   x ≥ 所有课程满分人数总和 - (b-1)*a；
4. 人数不能为负，最终答案为 max(总和 - (b-1)*a, 0)。

代码实现（一维数组版）

#include <iostream>
#include <algorithm>  // 用于 max 函数
using namespace std;int main() {int a, b;cin >> a >> b;// 一维数组存储每门课程满分人数，b最大为25000（a<=5e4，b<=a/2），数组足够大int s[25005];int sum = 0;// 读取每门课程满分人数，累加总和for (int i = 0; i < b; i++) {cin >> s[i];sum += s[i];}// 核心公式计算，结果取非负int res = sum - (b - 1) * a;cout << max(res, 0) << endl;return 0;
}

代码解释

变量说明

• a：学生总数，b：课程数量；
• s[25005]：一维数组，存储每门课程的满分人数（数组大小 25005 适配 b<=a/2 且 a<=5e4 的最大情况）；
• sum：所有课程满分人数的总和；
• res：通过核心公式计算的最少全满分人数，最终用 max(res, 0) 确保结果非负。

核心逻辑

1. 输入读取：先读 a 和 b，再用循环读 b 个满分人数存入数组，同时累加总和；
2. 公式计算：直接代入推导公式 sum - (b-1)*a；
3. 结果修正：避免人数为负，用 max 函数取计算结果和 0 的较大值。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(b)，仅遍历 b 次读取数据，效率极高；
• 空间复杂度：O(b)，一维数组存储 b 个满分人数，空间占用极小。

测试用例验证

样例输入 1 验证

• a=40，b=5，数组 s = [33,36,30,28,39]，总和 sum=166；
• 计算：166 - 4*40 = 6，输出 6，与样例一致。

样例输入 2 验证

• a=55，b=3，数组 s = [16,30,25]，总和 sum=71；
• 计算：71 - 2*55 = -39，输出 0，与样例一致。

注意事项

1. 数组大小：题目中 b<=a/2 且 a<=5e4，所以 b 最大为 25000，数组设为 25005 足够，避免越界；
2. 数据溢出：(b-1)*a 最大约 25000*50000=1.25e9，int 类型（4字节）可容纳，无需担心溢出；