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数据结构与算法篇-Prim最小生成树算法

news 2025/11/13 11:32:06

实现方法1：基于边的优先级队列

“挑选最便宜边” 的最直接实现，就是将边本身存入优先队列。

核心思想

数据结构

inTree[v]：布尔数组，记录每个顶点是否已加入 MST。
PQ：优先队列，存储边(u, v, weight)，按权重升序排序。
mstEdges：列表，存储选中的 MST 边。

策略：

从起始顶点出发，将其所有边加入优先队列。
提取权重最小的边。
若边的两个端点都已在树中，跳过（该边已失效）。
否则，将该边加入 MST，并将新顶点（非树端点）加入树中。
将新顶点的所有边加入优先队列。
重复步骤 2-5，直到收集到 $∣ V ∣ - 1$ 条边（MST 完成）。

伪代码

PRIM-EDGE-BASED(G, w, s):// Initializefor each vertex v in V:inTree[v] = falseinTree[s] = truemstEdges = []// Add all edges from starting vertex to PQfor each neighbor v of s with edge weight w(s, v):PQ.insert((s, v, w(s, v)))// Build the MSTwhile PQ is not empty and |mstEdges| < |V| - 1:// Get the minimum-weight edge(u, v, weight) = PQ.extractMin()// Skip if both endpoints already in tree (stale edge)if inTree[u] and inTree[v]:continue// Add edge to MSTmstEdges.add((u, v, weight))// Determine which endpoint is the new vertexnewVertex = inTree[u] ? v : uinTree[newVertex] = true// Add all edges from new vertex to non-tree verticesfor each neighbor w of newVertex with edge weight edgeWeight:if not inTree[w]:PQ.insert((newVertex, w, edgeWeight))return mstEdges

理解失效边

随着树的扩展，优先队列中部分边会变为 “失效边”：其两个端点已通过其他路径加入树中，不再具备扩展价值。

当提取到失效边时，直接检测并跳过即可。

这种处理完全合理：每条边仅被提取一次，丢弃失效边不会影响性能。

追踪示例

在之前的图中执行该算法，从顶点A开始：

          ╭───╮            ╭───╮│ A ├───── 4 ────┤ B │╰─┬─╯            ╰─┬─╯│                │2                3│                │╭─┴─╮            ╭─┴─╮│ C ├───── 5 ────┤ D │╰───╯            ╰───╯│                │6                1│                │╭─┴─╮            ╭─┴─╮│ E ├───── 7 ────┤ F │╰───╯            ╰───╯

数据结构

inTree={}
PQ=[]
mstEdges=[]

初始化

inTree={A}
PQ=[(A,C,2),(A,B,4)]
mstEdges=[]

迭代 1 ：提取 (A,C,2)

inTree[A] = true, inTree[C]=false
将(A,C,2)加到MST树中：mstEdges=[(A,C,2)]
newVertex=C
将 C 添加到树：inTree={A,C}
遍历 C 的邻居A、D、E：
- inTree[A] = true，跳过
- inTree[D] = false，将(C,D,5)加入PQ，即PQ = [(A,B,4), (C,D,5)]
- inTree[E] = false，将(C,E,6)加入PQ，即PQ = [(A,B,4), (C,D,5),()C,E,6]

更新后的数据结构：

inTree={A,C}
PQ=[(A,B,4), (C,D,5),(C,E,6)]
mstEdges=[(A,C,2)]

迭代 2： 提取 (A,B,4)

inTree[A] = true, inTree[B]=false
将(A,B,4)加到MST树中：mstEdges=[(A,C,2),(A,B,4)]
newVertex=B
将 B 添加到树：inTree={A,C,B}
遍历 B 的邻居A、D：
- inTree[A] = true，跳过
- inTree[D] = false，将(B,D,3)加入PQ，即PQ = [(B,D,3), (C,D,5),(C,E,6)]

更新后的数据结构：

inTree={A,C,B}
PQ=[(B,D,3), (C,D,5),(C,E,6)]
mstEdges=[(A,C,2),(A,B,4)]

迭代 3： 提取 (B,D,3)。将 D 添加到树。PQ = [(D,F,1), (C,D,5), (C,E,6)]

inTree[B] = true, inTree[D]=false
将(B,D,3)加到MST树中：mstEdges=[(A,C,2),(A,B,4),(B,D,3)]
newVertex=D
将 D 添加到树：inTree={A,C,B,D}
遍历 D 的邻居B、C、F：
- inTree[B] = true，跳过
- inTree[C] = true，跳过
- inTree[F] = false，将(D,F,1)加入PQ，即PQ = [(D,F,1), (C,D,5),(C,E,6)]

更新后的数据结构：

inTree={A,C,B,D}
PQ=[(D,F,1), (C,D,5),(C,E,6)]
mstEdges=[(A,C,2),(A,B,4),(B,D,3)]

迭代 4： 提取 (D,F,1)。将 F 添加到树。PQ = [(C,D,5), (C,E,6), (F,E,7)]

inTree[D] = true, inTree[F]=false
将(D,F,1)加到MST树中：mstEdges=[(A,C,2),(A,B,4),(B,D,3),(D,F,1)]
newVertex=F
将 F 添加到树：inTree={A,C,B,D,F}
遍历 F 的邻居D、E：
- inTree[D] = true，跳过
- inTree[E] = false，将(F,E,7)加入PQ，即PQ = [(C,D,5),(C,E,6),(F,E,7)]

更新后的数据结构：