12. 2 雅可比法

  前文讲的平方根求法，是一种迭代法，其实也是一种广义的雅可比Jacobi法。
Jacobi法的特点就是先构造一个迭代等式，然后一直迭代即可。如求$\sqrt{2}-1$，也就是$(x+1{)}^2=2$的迭代等式是$x=\frac{1}{1+x}$。但是雅可比法没必要只用加减乘除来解决问题。比如以下方程：
$$x^6+x^4-12=0$$
雅可比的迭代公式为:
$$\begin{gathered} x^6=12-x^4 \\ x=(12-x^4{)}^{\frac{1}{6}} \end{gathered}$$
我们用Python试一试：

import mathif __name__ == '__main__':x = 1while True:x1 = math.pow(12 - x ** 4, 1 / 6)if abs(x1 - x) < 1e-10:breakx = x1print(x)print(x**6+x**4)

  计算结果为：

1.4142135623000098
11.99999999669254

缺点

  一般情况下选择不同的起始点就能找到不同符号的根。但上面的例子不行，因为开根号得到的永远是正数，所以迭代不出负根。此外雅可比法有迭代速度慢、起始点难自动选择，收敛条件苛刻等原因，所以求解高次方程一般推荐用Newton、Broyden、Levenberg‑Marquardt 三种算法。