影子价格 Shadow Price

写于：2024年1月3日晚
修改于：

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影子价格：保持其他参数不变的情况下，某约束的右端项在某个微小范围内（若超过一定范围，那么影子价格会发生变动）变动一单位，导致最优目标函数值的变动量。

每个约束对应一个影子价格，量纲为目标函数的”单位/约束单位”

原规划	对偶规划
$\begin{array}{rl}& \max \mathrm{z}=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le b_i(i=1,2,\dots ,m)\\ x_j\ge 0(j=1,2,\dots ,n)\end{array}\end{array}$	$\begin{array}{rl}& \max \mathrm{w}=\sum _{i=1}^m{b}_i{y}_i\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{y}_i\ge c_j(j=1,2,\dots ,n)\\ y_i\ge 0(i=1,2,\dots ,m)\end{array}\end{array}$

资源稀缺度

当 $y_i>0$ 时，有 ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i$，表示资源 $b_i$ 耗尽且稀缺，影子价格 $y_i$ 值越大，说明资源 $b_i$ 稀缺程度越大

当 $y_i=0$ 时，有 ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le b_i$ ，表示资源 $b_i$ 未充分利用或刚用完。

边际贡献

$\frac{\partial z^{\ast }}{\partial {\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}}={\mathrm{y}}^{\ast }$ ，表示资源得到最优利用的条件下， $b_i$ 每增加一单位带来目标函数值的增量（每单位第 $\mathrm{i}$ 种资源对目标函数值的边际贡献)。
当资源 $b_i$ 市场价格小于 $y_i$ 边际价格，那么买入资源; 否则卖出。

检验数经济意义

${\sigma }_j=c_j-{\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{y}_i=c_j-C_B{B}^{-1}{P}_j=c_j-Y^{\ast }{P}_j$，其中 $c_j$ 表示产品 $\mathrm{j}$ 的价格，${\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{y}_i$ 表示生产产品 $\mathrm{j}$ 所需的成本。

若 ${\sigma }_j>0$，则生产该产品有利，换入对应变量为基变量; 若 ${\sigma }_j\le 0$，则不安排该产品生产，仍未非基变量。

常见设问

对偶问题最优解的经济含义/资源的影子价格的含义

1. 资源是否充分利用及紧俏程度（互补松弛定理）；
2. 单位资源的贡献（是否在市场上购买此资源，题干需提供市场价格才能从此角度作答）/资源增加一单位，最优目标函数值的增量；
3. 是否生产某产品（检验数经济意义，生产一单位产品的边际收益与边际成本的差值，求出最终单纯形表才从此角度作答）

考察影子价格从两方面作答：

1. 直接写出资源的影子价格；
2. “在生产背景下，如果扩大生产需要购买何种资源”，转化题干信息：扩大生产＝目标函数值增加最多、产品生产最多。从对偶问题最优解/影子价格的经济意义–资源的紧俏程度和资源对目标函数的边际贡献。