【数论】中国剩余定理(CRT) 扩展中国剩余定理(EXCRT)

预备知识

• 乘法逆元

一、线性同余方程

南北朝时期《孙子算经》中有个问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

用数学公式翻译过来就是一个方程组：
$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ \\ x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\\ \\ x\equiv 2(\mathrm{mod}7)\end{array}$$
像这样一些一次同余方程构成的方程组叫做线性同余方程组。最常见的线性同余方程组为：
$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ \\ x\equiv r_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \\ \cdots \\ \\ x\equiv r_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$
如果模数 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 两两互质，我们该如何求解这样一个方程组的通解呢？这就需要用到中国剩余定理了。

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二、中国剩余定理（CRT）

1. 求解过程

中国剩余定理（CRT）可以求解线性同余方程，前提条件是这些同余方程的模数两两之间必须互质。CRT 求解同余方程组的过程如下：

设 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 两两互质，对于一个线性同余方程组
$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ \\ x\equiv r_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \\ \cdots \\ \\ x\equiv r_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$
记 $M=m_1\times m_2\times \cdots \times m_n$，构造：
$$\begin{gathered} C_1=r_1\times \frac{M}{m_1}\times (\frac{M}{m_1}{)}^{-1} \\ {C}_2=r_2\times \frac{M}{m_2}\times (\frac{M}{m_2}{)}^{-1} \\ \cdots \\ {C}_n=r_n\times \frac{M}{m_n}\times (\frac{M}{m_n}{)}^{-1} \end{gathered}$$
其中 $(\frac{M}{m_i}{)}^{-1}$ 表示 $\frac{M}{m_i}$ 在模 $m_i$ 意义下的乘法逆元，则通解 $x$ 满足
$$x\equiv (C_1+C_2+\cdots +C_n)(\mathrm{mod}M)$$
因此可以发现，该同余方程组的最小正整数解为
$$(C_1+C_2+\cdots +C_n)\mathrm{mod}M$$

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2. 示例

求解线性同余方程
$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ \\ x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\\ \\ x\equiv 2(\mathrm{mod}7)\end{array}$$
的最小非负整数解。

由于 $3,5,7$ 三个数两两互质，因此满足中国剩余定理的使用条件。

首先计算出 $M=m_1\times m_2\times m_3=3\times 5\times 7=105$，接下来计算

• $\frac{M}{m_1}=\frac{105}{3}=35$；由 $35x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，解得 $x=2$，因此 $(\frac{M}{m_1}{)}^{-1}=2$；

• $\frac{M}{m_2}=\frac{105}{5}=21$；由 $21x\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，解得 $x=1$，因此 $(\frac{M}{m_2}{)}^{-1}=1$；

• $\frac{M}{m_3}=\frac{105}{7}=15$；由 $15x\equiv 1(\mathrm{mod}7)$，解得 $x=1$，因此 $(\frac{M}{m_2}{)}^{-1}=1$；

则有
$$\begin{gathered} C_1=2\times 35\times 2=140 \\ {C}_2=3\times 21\times 1=63 \\ {C}_3=2\times 15\times 1=30 \end{gathered}$$
所以该同余方程组的最小非负整数解为
$$(140+63+30)\mathrm{mod}105=23$$

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3.【模板】中国剩余定理 ⭐⭐⭐

【题目链接】

P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 - 洛谷

【题目描述】

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有 $16$ 头母猪，如果建了 $3$ 个猪圈，剩下 $1$ 头猪就没有地方安家了。如果建造了 $5$ 个猪圈，但是仍然有 $1$ 头猪没有地方去，然后如果建造了 $7$ 个猪圈，还有 $2$ 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

【输入格式】

第一行包含一个整数 $n$ —— 建立猪圈的次数，接下来 $n$ 行，每行两个整数 $a_i,b_i$，表示建立了 $a_i$ 个猪圈，有 $b_i$ 头猪没有去处。你可以假定 $a_1\sim a_n$ 互质。

【输出格式】

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

【示例一】

输入

3
3 1
5 1
7 2

输出

16

【说明/提示】

$1\le n\le 10$，$0\le b_i<a_i\le 100000$，$1\le \prod a_i\le 10^{18}$

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非常明显的一个用中国剩余定理求解的问题。

1. 计算所有模数的乘积 $M$；
2. 计算 $c_i=\frac{M}{m_i}$；
3. 计算 $c_i$ 在模 $m_i$ 意义下的乘法逆元 $c_i^{-1}$，可利用扩展欧几里得算法求解；
4. 最终结果为 $x=\sum _{i=1}^n{r}_i{c}_i{c}_i^{-1}\mathrm{mod}M$。

注意第四步在相乘的过程中，为了防止溢出，我们通常会采用龟速乘的方式计算。

#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5 + 10;
int m[N], r[N];  // 存储模数和余数// 龟速乘
LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{LL ret = 0;while(b){if(b & 1) ret = (ret + a) % p;b >>= 1;a = (a + a) % p;}return ret;
}// 扩展欧几里得
void exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return;}LL x1, y1;exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;
}// 中国剩余定理
LL crt(int n)
{// 累乘求 MLL M = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];LL ret = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){LL c = M / m[i];LL x, y;exgcd(c, m[i], x, y);  // 扩展欧几里得求逆元x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];  // 把 x 补成最小正整数// x * c * r[i]ret = (ret + qmul(qmul(x, c, M), r[i], M)) % M;}return ret;
}int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> m[i] >> r[i];cout << crt(n) << endl;return 0;
}

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三、扩展中国剩余定理（EXCRT）

1. 求解过程

前面我们了解到中国剩余定理（CRT）的使用条件是线性同余方程组的模数必须两两互质，那么如果模数不互质，CRT 就不适用了，此时想要求解模数不两两互质的线性同余方程组，就可以使用扩展中国剩余定理。

扩展中国剩余定理的核心思想：迭代。它的求解过程如下：

对于一个线性同余方程组
$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ \\ x\equiv r_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \\ \cdots \\ \\ x\equiv r_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$
我们首先补充一个方程：$x\equiv r_0(\mathrm{mod}{m}_0)$，其中 $r_0=0$，$m_0=1$。显然这对于任意整数都成立，所以我们把它添加进这个同余方程组中并不会影响最终结果。

假设最终的通解为 $ret=x\times m+r$，初始 $r=0$，$m=1$。然后通过迭代后面的方程，使得最终 $ret$ 依次满足后续的所有方程。

假设当前取得方程为 $x\equiv r_i(\mathrm{mod}{m}_i)$，即现在我们要让 $ret$ 满足 $ret=y\times m_i+r_i$ 。

现在 $ret$ 既满足 $ret=x\times m+r$，又满足 $ret=y\times m_i+r_i$，所以有
$$x\times m+r=y\times m_i+r_i$$
于是有
$$x\times m-y\times m_i=r_i-r$$
这样得形式类似于 $ax+by=c$，所以我们可以根据扩展欧几里得算法求出特解 $x_0$ 和 $y_0$，如果无解，则该线性同余方程组无解。

设 $d=\gcd (a,b)$，根据 exgcd，通解为
$$x=x_0+\frac{b}{d}\times k$$
带入 $ret=x\times m+r$ 中得
$$ret=x_0\times m+\frac{b}{d}\times k\times m+r$$
整理得到
$$ret=k\times \frac{b}{d}\times m+x_0\times m+r$$
这样的 $ret$，既满足之前的方程，也满足当前的方程。并且这样的 $ret$ 又可以看作 $ret=x\times m+r$，其中
$$\begin{gathered} m\leftarrow m\times \frac{b}{d} \\ r\leftarrow x_0\times m+r \end{gathered}$$
接下来我们只需要再选取一个新的方程继续迭代出一个新的 $ret$，这样不断迭代，就可以让 $ret$ 满足方程组中的所有方程，也就得到了最终解。

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2. 示例

求解线性同余方程
$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ \\ x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\\ \\ x\equiv 2(\mathrm{mod}7)\end{array}$$
的最小非负整数解。

这里虽然模数两两互质，但是依然可以使用扩展中国剩余定理来求解，我们重点掌握其思想。

首先补充一个方程 $x\equiv 0(\mathrm{mod}1)$，最终解 $ret=x\times 1+0$；

迭代第一个方程 $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ 得到：$ret=y\times 3+2$；

于是有
$$ret=x\times 1+0=y\times 3+2$$
即
$$x-3y=2$$
可以看作 $x+3y=2$，之后利用扩展欧几里得求出
$$\begin{gathered} x=2+3\times k \\ y=0-k \end{gathered}$$
带入 $ret=x\times 1+0$ 中得
$$\begin{gathered} ret=k\times 3+2 \\ \Downarrow \\ ret=x\times 3+2 \end{gathered}$$
此时 $ret$ 满足第一个方程。继续迭代第二个方程 $x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$，有
$$ret=y\times 5+3$$
于是
$$ret=x\times 3+2=y\times 5+3$$
即
$$3x+5y=1$$
利用扩展欧几里得求出
$$\begin{gathered} x=2+5\times k \\ y=-1-3\times k \end{gathered}$$
带入 $ret=x\times 3+2$ 中得
$$\begin{gathered} ret=k\times 15+8 \\ \Downarrow \\ ret=x\times 15+8 \end{gathered}$$
此时 $ret$ 满足第一、二个方程。继续迭代第三个方程 $x\equiv 2(\mathrm{mod}7)$，有
$$ret=y\times 7+2$$
于是
$$ret=x\times 15+8=y\times 7+2$$
即
$$15x+7y=-6$$
利用扩展欧几里得算法求出
$$\begin{gathered} x=-6+7\times k \\ y=12-15\times k \end{gathered}$$
带入 $ret=x\times 15+8$ 中得
$$ret=k\times 105-82=k\times 105+23$$
此时 $ret$ 满足所有方程，并且 $23$ 为最小非负整数解。

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3.【模板】扩展中国剩余定理 ⭐⭐⭐⭐

【题目链接】

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） - 洛谷

【题目描述】

给定 $n$ 组非负整数 $a_i,b_i$ ，求解关于 $x$ 的方程组的最小非负整数解。
$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{mod}{a}_1)\\ x\equiv b_2(\mathrm{mod}{a}_2)\\ \dots \\ x\equiv b_n(\mathrm{mod}{a}_n)\end{array}$$

【输入格式】

输入第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行两个非负整数 $a_i,b_i$。

【输出格式】

输出一行，为满足条件的最小非负整数 $x$。

【示例一】

输入

3
11 6
25 9
33 17

输出

809

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le {10}^5$，$1\le a_i\le {10}^{12}$，$0\le b_i\le 10^{12}$，保证所有 $a_i$ 的最小公倍数不超过 ${10}^{18}$。

请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。

数据保证有解。

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#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5 + 10;LL m[N], r[N];  // 存模数和余数// 龟速乘，防止乘法溢出
LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{LL ret = 0;while(b){if(b & 1) ret = (ret + a) % p;b >>= 1;a = (a + a) % p;}return ret;
}// 扩展欧几里得
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL x1, y1, d;d = exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}LL excrt(int n)
{// 补充的方程初始模数为 1，余数为 0LL M = 1, ret = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){LL a = M, b = m[i], c = r[i] - ret;// 构造出 ax + by = c// c 有可能为负数或者很大的数，需要把它补成模 b 下的最小非负整数c = (c % b + b) % b;  // 防溢出// 解 ax + by = c 中的 xLL x, y, d;d = exgcd(a, b, x, y);if(c % d) return -1;LL k1 = b / d;// ax + by = c 的特解 x0 = x * (c / d)x = qmul(x, c / d, k1);  // 防止直接乘会溢出x = (x % k1 + k1) % k1;// 迭代出下一个方程的系数ret = ret + x * M;M = k1 * M;ret = (ret % M + M) % M; }return ret;
}int main()
{int n; cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> m[i] >> r[i];cout << excrt(n) << endl;return 0;
}

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四、练习

1. 猜数字 ⭐⭐⭐

【题目链接】

[P3868 TJOI2009] 猜数字 - 洛谷

【题目描述】

现有两组数字，每组 $k$ 个。

第一组中的数字分别用 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 表示，第二组中的数字分别用 $b_1,b_2,\cdots ,b_k$ 表示。

其中第二组中的数字是两两互素的。求最小的 $n\in \mathbb{N}$，满足对于 $\forall i\in [1,k]$，有 $b_i|(n-a_i)$。

【输入格式】

第一行一个整数 $k$。

第二行 $k$ 个整数，表示：$a_1,a_2,\cdots ,a_k$。

第三行 $k$ 个整数，表示：$b_1,b_2,\cdots ,b_k$。

【输出格式】

输出一行一个整数，为所求的答案 $n$。

【示例一】

输入

3
1 2 3
2 3 5

输出

23

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据：

$1\le k\le 10$，$|a_i|\le 10^9$，$1\le b_i\le 6\times 10^3$，${\prod }_{i=1}^k{b}_i\le 10^{18}$。

每个测试点时限 $1$ 秒。

注意：对于 C/C++语言，对 $64$ 位整型数应声明为 long long。

若使用 scanf，printf函数（以及 fscanf，fprintf等），应采用 %lld标识符。

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(1) 解题思路

中国剩余定理模板题变形，需要注意的是余数可能为负数，可以在读入余数之后处理为正数，也可以在龟速乘的时候避免将负数传入参数 $b$ 中。

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(2) 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;typedef long long LL;const int N = 20;
LL m[N], r[N];LL qmul(LL a, LL b, LL p) 
{LL ret = 0;while (b) {if (b & 1) ret = (ret + a) % p;b >>= 1;a = (a + a) % p;}return ret;
}void exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y) 
{if (b == 0) {x = 1, y = 0;return;}LL x1, y1;exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;
}LL crt(int n) 
{LL M = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];LL ret = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {LL c = M / m[i];LL x, y;exgcd(c, m[i], x, y);x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];// 龟速乘时避免将负数传给参数 b，否则可能死循环ret = (ret + qmul(r[i], qmul(c, x, M), M)) % M;}return ret;
}int main() 
{LL k;scanf("%lld", &k);for (int i = 1; i <= k; i++) scanf("%lld", r + i);for (int i = 1; i <= k; i++) scanf("%lld", m + i);printf("%lld", crt(k));return 0;
}

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2. 屠龙勇士 ⭐⭐⭐⭐⭐

【题目链接】

[P4774 NOI2018] 屠龙勇士 - 洛谷

【题目描述】

小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

• 游戏的目标是按照编号 $1\to n$ 顺序杀掉 $n$ 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 $a_i$ 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 $p_i$ ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值 恰好 为 $0$ 时它才会死去。
• 游戏开始时玩家拥有 $m$ 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。

小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：

• 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择 攻击力最低 的一把剑作为武器。
• 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 $x$ 次，使巨龙的生命值减少 $x\times ATK$ 。
• 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 $p_i$ 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 $0$ ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 $x$ 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 $-1$ 即可。

【输入格式】

第一行一个整数 $T$，代表数据组数。

接下来 $T$ 组数据，每组数据包含 $5$ 行。

• 每组数据的第一行包含两个整数，$n$ 和 $m$ ，代表巨龙的数量和初始剑的数量；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的初始生命值 $a_i$；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的恢复能力 $p_i$；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示杀死第 $i$ 条巨龙后奖励的剑的攻击力；
• 接下来一行包含 $m$ 个正整数，表示初始拥有的 $m$ 把剑的攻击力。

【输出格式】

一共 $T$ 行。

第 $i$ 行一个整数，表示对于第 $i$ 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 $x$ ，如果答案不存在，输出 $-1$。

【示例一】

输入

2
3 3
3 5 7
4 6 10
7 3 9
1 9 1000
3 2
3 5 6
4 8 7
1 1 1
1 1

输出

59
-1

【说明】

更多样例

更多样例请在附加文件中下载。

样例 2

见附加文件中的 dragon2.in 与 dragon2.ans。

样例 1 解释

第一组数据：

• 开始时拥有的剑的攻击力为 { 1 , 9 , 1000 } \{1,9,1000\} {1,9,1000}，第 $1$ 条龙生命值为 $3$，故选择攻击力为 $1$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $59$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-56$，恢复 14 次后生命值恰好为 $0$，死亡。

• 攻击力为 $1$ 的剑消失，拾取一把攻击力为 $7$ 的剑，此时拥有的剑的攻击力为
  { 7 , 9 , 1000 } \{7,9,1000\} {7,9,1000}，第 2 条龙生命值为 $5$，故选择攻击力为 $7$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $413$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-408$，恢复 $68$ 次后生命值恰好为 $0$，死亡。

• 此时拥有的剑的攻击力为 { 3 , 9 , 1000 } \{3,9,1000\} {3,9,1000}，第 $3$ 条龙生命值为 $7$，故选择攻击力为 $3$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $177$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-170$，恢复 $17$ 次后生命值恰好为 0，死亡。

• 没有比 $59$ 次更少的通关方法，故答案为 $59$。

第二组数据：
不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出 $-1$。

【提示】

你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。

---

(1) 解题思路

假设巨龙的血量为 $r$，剑的攻击力为 $a$，巨龙的恢复能力为 $m$，恢复次数为 $y$。因为攻击次数为 $x$，所以当
$$r-ax+my=0$$
的时候巨龙死亡。移项得到
$$ax=my+r$$
这不就是一个同余方程变来的嘛！也就是
$$ax\equiv r(\mathrm{mod}m)$$
那么对于每一条巨龙，我们都可以列出一个同余方程，组合起来就是一个同余方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x\equiv r_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ \\ a_{2}x\equiv r_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ \\ \cdots \\ \\ a_{n}x\equiv r_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$
我们要求的最小攻击次数就是该线性同余方程组的最小正整数解，由于 $m_i$ 之间不一定互质，所以采用扩展中国剩余定理来求解。

和模板题不一样的是，这里 $x$ 的前面多了一个系数 $a_i$，不过基本的迭代思想依旧是不变的。

我们首先还是补充一个方程：$x\equiv r_0(\mathrm{mod}{m}_0)$，其中 $r_0=0$，$m_0=1$。

假设最终的通解为 $ret=x\cdot m+r$，初始 $r=0$，$m=1$。然后开始迭代后面的方程，使得最终 $ret$ 依次满足后续的所有方程。

假设当前取得方程为 $a_{i}x\equiv r_i(\mathrm{mod}{m}_i)$，即现在我们要让 $ret$ 满足
$$a_i\cdot ret=y{m}_i+r_i$$
我们把 $ret=x\times m+r$ 两边同时乘以 $a_i$，得到
$$a_i\cdot ret=a_{i}xm+a_{i}r$$
所以有
$$a_{i}xm+a_{i}r=y{m}_i+r_i$$
整理得
$$a_{i}xm-y{m}_i=r_i-a_{i}r$$
形式类似于 $ax+by=c$，可以用扩展欧几里得算法求出特解 $x_0$ 和 $y_0$，如果无解，则该线性同余方程组无解，说明无法通关。

设 $d=\gcd (a,b)$，根据 exgcd，通解为
$$x=x_0+\frac{b}{d}k$$
带入 $ret=x\cdot m+r$ 中得
$$ret=\frac{b}{d}mk+x_{0}m+r$$
这样的 $ret$，既满足之前的方程，也满足当前的方程。并且这样的 $ret$ 又可以看作新的 $ret=x\times m+r$，其中
$$\begin{gathered} m\leftarrow m\frac{b}{d} \\ r\leftarrow x_{0}m+r \end{gathered}$$
接下来我们只需要再选取一个新的方程继续迭代出一个新的 $ret$，这样不断迭代，就可以让 $ret$ 满足方程组中的所有方程，也就得到了最终解。

• 细节问题

1. 由于我们打每条龙要使用的剑的要求是 “攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择 攻击力最低 的一把剑作为武器”，因此需要采用二分取找的，并且杀死每条龙之后要选择另一把剑，所以这里我们采用 multiset 去存储剑的信息（攻击力），选择剑的时候调用 lower_bound 或者 upper_bound 接口即可。注意打完每条龙之后要 erase 掉。

2. 我们最开始推导的时候列出了一个等式 $r-ax+my=0$，$y$ 表示恢复次数，它必须大于 $0$，但是如果像上面这样直接写代码的话 $y$ 有可能小于 $0$，计算出的 $x$ 是不正确的。因此为了确保回复次数 $y>0$，我们还需要额外维护一个变量 limit，记录杀死这些龙所需要的最大攻击次数，只有最终的 $x$ 大于等于 limit，才是正确的结果，其中

$$limit=\max (limit,\lceil \frac{r_i}{a_i}\rceil )$$

​ $r$ 为巨龙的血量，$a$ 为剑的攻击力。

3. 涉及乘法运算时，能用龟速乘则用龟速乘，防止溢出

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(2) 代码实现

#include<iostream>
#include<set>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1e5 + 10;// 所有攻击次数中最大的那个
LL limit;
// 恢复能力， 生命值， 奖励剑的攻击力
LL mod[N], r[N], atk_rwd[N];
// 存储剑的攻击力
multiset<LL> atk;// 获取攻击力不高于 hp 的攻击力最大的剑, 没有选择攻击力最低的一把
LL get_atk(LL hp)
{auto it = atk.upper_bound(hp);if(it != atk.begin()) --it;return *it;
}// 龟速乘
LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{LL ret = 0;while(b){if(b & 1) ret = (ret + a) % p;b >>= 1;a = (a + a) % p;}return ret;
}// 扩展欧几里得
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL x1, y1, d;d = exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}// 扩展中国剩余定理
LL excrt(int n)
{LL M = 1, ret = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){// 获取剑的攻击力LL t = get_atk(r[i]);LL a = qmul(t, M, mod[i]), b = mod[i], c = r[i] - ret * t;c = (c % b + b) % b;LL x, y, d;d = exgcd(a, b, x, y);if(c % d) return -1;LL k1 = b / d;x = qmul(x, c / d, k1);x = (x % k1 + k1) % k1;ret = ret + M * x;M = k1 * M;ret = (ret % M + M) % M;// 使用了一把剑之后这把剑就没了, 并奖励一把新的剑atk.erase(atk.find(t));atk.insert(atk_rwd[i]);// 维护 limitlimit = max(limit, (r[i] + t - 1) / t);}// 根据 limit 和 ret 的差值把 ret 补成大于 limit 的最小合法解if(ret < limit) ret = ret + (limit - ret + M - 1) / M;return ret;
}int main()
{int t; cin >> t;while(t--){// 多组测试用例记得清空上一组的数据atk.clear();limit = 0;int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> r[i];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> mod[i];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> atk_rwd[i];for(int i = 1; i <= m; i++){LL t; cin >> t;atk.insert(t);}cout << excrt(n) << endl;}return 0;
}