（根号分治）nfls #1982 倍数点更新 题解

题意

给定一个长度为 $n$ 的序列 $x$，编号从 $1$ 开始，所有元素初值为 $0$，接下来 $q$ 次操作，操作有两种 op=1/2，每次给出 a,b：

1. op=1，更新下标为 $a$ 的倍数的点，即$x_{a\times i}\leftarrow x_{a\times i}+b$，$a\times i\le n$；
2. op=2，询问 $\sum _{i=l}^r{x}_i$，保证 $l\le r$。

$1\le n,m\le 10^5$，op=1 时 $b\in [1,10^8]$。

思路

我们发现修改比较离散，似乎没法线段树，求区间和前缀和也不好搞，考虑在树状数组上 add 和 query 前缀和。

看到倍数，可以分类去跳：将 $a$ 分为大因数（大于 $bSize=\sqrt{n}$）和小因数。大因数直接 $O(\sqrt{n})$ 枚举下标即可。

那么小倍数呢？发现我们容易计算 $[l,r]$ 中 $x$ 的因数有 r/x-(l-1)/x 个，我们可以枚举 $bSize$ 内的因数——考虑一个 $ta{g}_x$ 表示，下标为 $x$ 的倍数全体加 $ta{g}_x$。而这样打 tag 只用记录小因数，枚举因数也只需要 $bSize$ 次。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ls u<<1
#define rs u<<1|1
const ll N=1e5+9;
ll n,Q;
ll bSize,tag[N];
struct BT
{ll T[N];ll lowbit(ll x){return x&(-x);}void add(ll x,ll k){for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i))T[i]+=k;}ll query(ll x){ll ret=0;for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))ret+=T[i];return ret;}
}B; 
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&Q);bSize=sqrt(n);while(Q--){ll op,a,b;scanf("%lld%lld%lld",&op,&a,&b);if(op==1){if(a<=bSize)tag[a]+=b;else for(int i=a;i<=n;i+=a)B.add(i,b);}else {ll ret=0;for(int i=1;i<=bSize;i++)ret+=tag[i]*(b/i-(a-1)/i);ret+=B.query(b)-B.query(a-1);printf("%lld\n",ret);}}return 0;
}