1. 排序算法
（1）简单排序（适合小规模数据）
| 算法 | 核心思想 | 时间复杂度 | 特点 |
|---|
| 冒泡排序 | 相邻元素比较交换，每轮将最大值冒泡到末尾 | 最差/平均：O(n²) | 稳定，原地排序，代码简单 |
| 选择排序 | 每轮选择最小元素放到已排序区间末尾 | 最差/平均：O(n²) | 不稳定（交换破坏顺序），原地 |
| 插入排序 | 将未排序元素插入已排序区间的正确位置 | 最差/平均：O(n²) | 稳定，原地，适合近乎有序的数据 |
（2）高效排序（大规模数据首选）
| 算法 | 核心思想 | 时间复杂度 | 特点 |
|---|
| 归并排序 | 分治法，递归拆分后合并有序子数组 | 最差/平均：O(n log n) | 稳定，非原地（需O(n)空间） |
| 快速排序 | 分治法，选取基准值分区（左小右大） | 平均：O(n log n)，最差O(n²) | 不稳定，原地排序，实际最快 |
| 堆排序 | 构建大顶堆，交换堆顶与末尾元素并调整 | 最差/平均：O(n log n) | 不稳定，原地，适合动态数据流 |
关键对比：
- 快速排序：平均性能最优，但最差情况需优化（如随机化基准值）。
- 归并排序：稳定且时间复杂度稳定，但空间开销大。
- 实际应用：
- Python的
list.sort()使用Timsort（归并+插入排序混合）。 - C++的
std::sort()基于快速排序+插入排序优化。
2. 查找算法
（1）顺序查找（线性查找）
- 思想：逐个遍历元素，直到找到目标。
- 复杂度：O(n)
- 适用场景：无序数据或数据量极小。
（2）二分查找
- 前提：数据必须有序。
- 思想：每次比较中间元素，缩小一半搜索范围。
- 复杂度：O(log n)
- 变种：
- 查找第一个/最后一个等于目标值的位置。
- 查找插入位置（如Python的
bisect模块）。
- 应用：数据库索引、内存中的有序集合查询。
3. 图算法
（1）深度优先搜索（DFS）
- 思想：递归或栈实现，尽可能深地探索分支，回溯后继续。
- 复杂度：O(V+E)（V为顶点数，E为边数）
- 应用：
- 拓扑排序（如任务调度）。
- 连通分量检测（如Tarjan算法）。
（2）广度优先搜索（BFS）
- 思想：队列实现，逐层遍历所有邻居。
- 复杂度：O(V+E)
- 应用：
- 无权图的最短路径（如迷宫问题）。
- 社交网络中的“好友推荐”。
（3）Dijkstra算法（单源最短路径）
- 前提：图中无负权边。
- 思想：贪心策略，每次选择当前距离起点最近的顶点松弛其邻居。
- 复杂度：O((V+E) log V)（优先队列优化后）
- 应用：路由协议（如OSPF）、地图导航。
（4）Prim与Kruskal算法（最小生成树-MST）
| 算法 | 核心思想 | 时间复杂度 | 适用场景 |
|---|
| Prim | 贪心，从任意顶点逐步扩展最小边 | O(E log V)（堆优化） | 稠密图（邻接矩阵） |
| Kruskal | 按边权排序，依次选择不形成环的边 | O(E log E)（并查集） | 稀疏图（邻接表） |
应用：网络布线、电路设计。
关键问题与优化
| 问题 | 解决方案 | 示例 |
|---|
| 快速排序最差情况 | 随机化基准值或三数取中法 | C++ std::sort()的混合策略 |
| Dijkstra负权边失效 | 改用Bellman-Ford或SPFA算法 | 金融网络中的套利检测 |
| 二分查找边界条件 | 统一使用左闭右开区间（[low, high)） | Python bisect.bisect_left() |
现代演进方向
- 并行算法：
- 归并排序的MapReduce实现（大数据处理）。
- GPU加速的快速排序（如CUDA Thrust库）。
- 近似算法：
- 针对大规模图的近似最短路径（如Landmark算法）。
- 混合策略：
- 内省排序（Introsort）：快速排序+堆排序+插入排序（如C++ STL）。
掌握这些基础算法是解决复杂问题的基石（如快速排序的分治思想可扩展至Top K问题，DFS/BFS是回溯和动态规划的基础）。
