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题目:

204. 计数质数

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

提示：

• 0 <= n <= 5 * 106

方法一：暴力法（不推荐，仅作演示）

时间复杂度：O(n√n)
空间复杂度：O(1)

public class Solution {public int countPrimes(int n) {if (n <= 2) return 0;int count = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {if (isPrime(i)) count++;}return count;}private boolean isPrime(int num) {if (num <= 1) return false;for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0) return false;}return true;}
}

方法二：埃拉托斯特尼筛法（基础版）

时间复杂度：O(n log log n)
空间复杂度：O(n)

import java.util.Arrays;public class Solution {public int countPrimes(int n) {if (n <= 2) return 0;boolean[] isPrime = new boolean[n];Arrays.fill(isPrime, true);isPrime[0] = isPrime[1] = false;for (int i = 2; i * i < n; i++) {if (isPrime[i]) {for (int j = i * i; j < n; j += i) {isPrime[j] = false;}}}int count = 0;for (boolean b : isPrime) {if (b) count++;}return count;}
}

方法三：埃氏筛优化版（跳过偶数）

时间复杂度：O(n log log n)
空间复杂度：O(n)

import java.util.Arrays;public class Solution {public int countPrimes(int n) {if (n <= 2) return 0;boolean[] isPrime = new boolean[n];Arrays.fill(isPrime, true);isPrime[0] = isPrime[1] = false;// 处理偶数for (int i = 4; i < n; i += 2) isPrime[i] = false;// 处理奇数for (int i = 3; i * i < n; i += 2) {if (isPrime[i]) {for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i) {isPrime[j] = false;}}}int count = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {if (isPrime[i]) count++;}return count;}
}

方法四：欧拉筛（线性筛）

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class Solution {public int countPrimes(int n) {if (n <= 2) return 0;List<Integer> primes = new ArrayList<>();boolean[] isComposite = new boolean[n];for (int i = 2; i < n; i++) {if (!isComposite[i]) primes.add(i);for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes.get(j) < n; j++) {isComposite[i * primes.get(j)] = true;if (i % primes.get(j) == 0) break;}}return primes.size();}
}

方法分析

1. 暴力法：逐个检查每个数是否为质数，时间复杂度高，仅适用于极小的 n。
2. 埃氏筛：通过标记质数的倍数筛选合数，时间复杂度较低，适合大多数场景。
3. 优化埃氏筛：跳过偶数处理，减少冗余操作，提高实际运行效率。
4. 欧拉筛：每个合数仅被标记一次，时间复杂度最优，但实现稍复杂，适用于极大 n。

根据需求选择合适的方法：推荐使用埃氏筛（方法二或三）作为通用解法，欧拉筛（方法四）在处理极大 n 时性能更优。