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LeetCode算法日记 - Day 95: 回文子串

news 2025/11/8 7:25:04

1. 回文子串

1.1 题目解析

1.2 解法

1.3 代码实现

1. 回文子串

https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/description/

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

1 <= s.length <= 1000
s 由小写英文字母组成

1.1 题目解析

题目本质
这是一个子串统计问题，要统计一个字符串中所有回文子串的数量。本质上是判断每个可能的子串是否为回文，然后累加计数。核心是"如何高效判断所有子串的回文性质"。

常规解法
最直观的想法：枚举所有可能的子串，对每个子串都进行回文判断。

// 常规解法：暴力枚举（可能超时）static class BruteForceSolution {public int countSubstrings(String s) {int n = s.length();int count = 0;// 枚举所有可能的子串for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {// 判断 s[i..j] 是否为回文if (isPalindrome(s, i, j)) {count++;}}}return count;}// 判断 s[left..right] 是否为回文private boolean isPalindrome(String s, int left, int right) {while (left < right) {if (s.charAt(left) != s.charAt(right)) {return false;}left++;right--;}return true;}}

问题分析
暴力枚举的复杂度是 O(n³)：当 n = 1000 时，1000³ = 10⁹ 次操作，可能会超时。
关键观察：回文判断存在大量重复计算

判断 "abcba" 是否为回文时，会检查 "bcb"

之后判断 "bcb" 是否为回文时，又要重新检查一遍

这种重复计算可以被优化！

思路转折
要想高效 → 必须避免重复判断 → 动态规划预处理
核心洞察：大回文串依赖于小回文串

如果 "aba" 是回文，那么只需要看首尾字符是否相等

如果 s[i] == s[j]，且 s[i+1..j-1] 是回文，那么 s[i..j] 也是回文

1.2 解法

算法思想
1. 采用区间动态规划：定义 dp[i][j] = s[i..j] 是否为回文子串

2. 状态转移：

单字符：dp[i][i] = true

相邻字符：dp[i][i+1] = (s[i] == s[i+1])

其他情况：dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i+1][j-1]

3. 遍历顺序：i 从大到小（n-1 → 0），j 从小到大（i → n-1）

4. 统计所有 dp[i][j] == true 的数量

步骤拆解

i）初始化：创建 boolean[][] dp，默认全为 false

ii）填表：

外层循环：i 从 n-1 倒序到 0

内层循环：j 从 i 正序到 n-1

判断 s[i] 是否等于 s[j]：
- 相等 + 单字符 → dp[i][j] = true
- 相等 + 相邻 → dp[i][j] = true
- 相等 + 其他 → dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
- 不相等 → 保持 false

iii）统计：遍历 dp 数组，累加所有 true 的个数

易错点

遍历顺序错误：必须 i 倒序（从大到小），因为 dp[i][j] 依赖 dp[i+1][j-1]，需要先计算大的 i。如果 i 正序，会访问到未计算的状态

统计时遍历范围错误：不能遍历整个 n×n 矩阵，因为 j < i 的部分没有意义。应该只遍历上三角（j ≥ i），或者统计时也用双重循环 for(i) for(j=i to n-1)

边界条件遗漏：忘记处理单字符（i==j）和相邻字符（i+1==j）的情况，直接访问 dp[i+1][j-1] 会越界或逻辑错误

首尾不等时未处理：当 s[i] != s[j] 时，应该保持 dp[i][j] = false，不需要显式赋值（Java默认false）

1.3 代码实现

// 回文子串的数目
static class Solution {public int countSubstrings(String s) {int n = s.length();char[] nums = s.toCharArray();boolean[][] dp = new boolean[n][n];// 填表：i 倒序，j 正序for (int i = n-1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < n; j++) {if (nums[i] == nums[j]) {// 首尾字符相等if (i == j) {dp[i][j] = true;  // 单字符} else if (i+1 == j) {dp[i][j] = true;  // 相邻字符} else {dp[i][j] = dp[i+1][j-1];  // 看内部}}// 首尾不等，保持 false}}// 统计回文子串数量int ret = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {  // 只遍历上三角if (dp[i][j]) ret++;}}return ret;}
}

复杂度分析