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平板方程是通过一系列假设和数学公式，将三维弹性问题简化为二维平板弯曲问题的核心。它由一个四阶偏微分方程控制，该方程将挠度与施加的载荷联系起来，并通过边界条件和材料特性来定义解。经典的基尔霍夫-洛夫理论仍然是其基石，并有各种改进来解决其在厚板或复杂载荷下的局限性。
平板方程控制着固体力学中平板的弯曲和变形行为，其根源在于经典平板理论及其数学公式。主要观点如下：
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物理和几何假设
- 假设平板是弹性、均质和各向同性的。
- 平板最初是平坦的，挠度相对于平板厚度很小。
- 挠曲表面的斜率很小，允许应变-位移关系线性化。
- 应力沿厚度线性变化，横向法向应力为零（ σ z z = 0 \sigma_{zz} =0 σzz=0）。
- 平板厚度相对于其其他尺寸很小，这使得将三维固体近似为二维是合理的。
控制方程
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平板弯曲由一个四阶偏微分方程描述，该方程将平板挠度w与施加的横向载荷q联系起来。
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经典的基尔霍夫-洛夫平板理论提供了基本控制方程： ∇ 2 ∇ 2 w = q D \nabla^2 \nabla^2 w=\frac{q}{D} ∇2∇2w=Dq
其中 D D D是平板的弯曲刚度，定义为 D = E H 3 12 ( 1 − ν 2 ) D=\frac{E H^3}{12\left(1-\nu^2\right)} D=12(1−ν2)EH3
其中 E E E是杨氏模量， ν ν ν是泊松比， H H H是平板厚度。
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力矩-曲率关系将弯矩 M α β M_{\alpha \beta} Mαβ与曲率（挠度的二阶导数）联系起来，类似于梁弯曲理论，但扩展到二维。
边界条件
- 平板可以有各种边界条件，例如简支、固定或自由边缘。
- 例如，简支边缘具有零挠度和弯矩条件，而固定边缘具有零挠度和零斜率（旋转）。
应变-位移和应力关系
- 平板中的应变分量包括薄膜应变和弯曲应变，其中弯曲应变与到中平面的距离成比例。
- 基尔霍夫-洛夫理论假设中面法线在变形后保持直线和法线（无横向剪切变形）。
- 应力分量通过线性弹性本构关系与力矩和曲率相关联。
扩展和改进
- 经典的基尔霍夫-洛夫理论适用于薄板和小挠度。
- 对于较厚的板或大挠度，使用更高阶理论和非线性应变-位移关系（例如，冯·卡门应变）。
- 精化理论考虑了横向剪切变形和更复杂的位移场以提高精度。
云计算能够对复杂结构行为（例如加载下固定板的挠度）进行复杂的可视化（动画）和精确建模（绘图），利用计算能力分析和理解平板方程所描述的实际工程问题。
🎬动画结果
- 均匀载荷下的夹紧方板