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14：C++：二叉搜索树

news 2025/11/7 12:36:01

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树满足以下几点特征：

（1）若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于等于根节点的值；

（2）若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于等于根节点的值；

（3）它的左右子树也为二叉搜索树。

Note：二叉搜索树不要求是完全二叉树。

二、二叉搜索树的性能分析

请思考以下，在二叉搜索树里找一个值的时间复杂度为多少呢？

由此图可以清晰得知：最优的情况：O(logN)

最坏的情况：O(N)

所以综上而言。二叉搜索树的时间复杂度为：O(N)

Note：二分查找也能实现时间复杂度为 O(logN)，只不过有两个缺陷：

（1）需要存储在支持随机下标访问的结构里，而且还要有序

（2）插入和删除效率低

三、实现搜索二叉树（模拟）

3.1、节点结构

咱们以前学习的二叉树的结点只有一个值，那可不可以有两个值呢？可以的，像后面学习的map 就是如此。简单来说，就是一个节点有两个存放数据的变量：key 和 value ，其中， key 负责比较，value 负责记录一些数据，比如该节点背后的含义等。

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{K _key;V _value;BSTreeNode* _left;BSTreeNode* _right;//构造BSTreeNode():_key(0), _value(0), _left(nullptr), _right(nullptr){    }BSTreeNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){      }
};

那么，在二叉搜索树里的成员变量就只有一个 root，为根节点

3.2、插入（不允许相同的值插入）

很简单，大了我往右边跑，小了我往左边跑。不过不要忘了，如果一开始是一个空树的情况。

//不允许相等的值插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* newnode = new Node(key, value);Node* parent = nullptr;   //parent 为 cur 的父节点Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//到达该插入的结点if (key > parent->_key){parent->_right = newnode;}else{parent->_left = newnode;}return true;
}

Note：为什么要引入一个 parent 节点？因为 cur 节点在循环结束后为 nullptr ，我们应该把 newnode 插入到 cur 的父节点的左右孩子处，而我们的是二叉链表，不能通过孩子找父亲，所以在一开始就引入一个 parent 节点

3.3、查找

这个就很简单了，比大小，大了去右边，小了去左边，如果循环结束还没相等，就返回nullptr

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key)	{cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

3.4、删除（重要）

删除一个节点很简单，但是要保证删除结束后的二叉搜索树结构不被破坏就很难了。我怕们先来分析分析删除一个节点会遇到什么情况：

第一种情况：被删除的结点没有左右孩子

这种情况直接删除就行，对结构没有影响

第二种情况：被删除的结点只有一个孩子

这种情况，由图可知，由它的父节点指向它的孩子即可

第三种情况：被删除的结点的左右孩子都存在

这种情况是最为复杂的，怎么办呢？我们应该在下面寻找一个新的节点代替它的位置，找谁替代？当然是左子树 key 最大的那个或者是右子树可以最小的那个。

bool Erase(const K& key)
{//首先要找到节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key == cur->_key){//进行删除操作//cur 的左孩子为空if (cur->_left == nullptr ){if (cur == _root){_root = cur->_right;delete cur;cur = nullptr;}//cur 是其父节点的左孩子if (parent->_left = cur){parent->_left = cur->_right;}else{//cur 是其父节点的右孩子parent->_right = cur->_right;}delete cur;cur = nullptr;return true;}else if (cur->_right == nullptr ){if (cur == _root){_root = cur->_left;delete cur;cur = nullptr;}//cur 的右孩子为空if (parent->_left = cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}delete cur;cur = nullptr;return true;}else{//cur的左右孩子都存在//我们设定寻找右子树的最小值Node* current = cur->_right;Node* current_parent = cur;while (current->_left){current_parent = current;current = current->_left;}cur->_key = current->_key;cur->_value = current->_value;if (current_parent->_left == current){current_parent->_left = current->_right;}else{current_parent->_right = current->_right;}delete current;current = nullptr;}}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{parent = cur;cur = cur->_left;}}//走到这里说明未找到return false;
}

Note：为什么没有把 cur 的左右孩子都不存在的情况列出来？因为在其左孩子为空的代码就可以实现这个功能。

满足左孩子为空的情况有两种，左孩子为空右孩子不为空和左右孩子都为空两种情况。