每日一题——搜索二维矩阵

一、题目背景

在LeetCode上，有一道经典的二维矩阵搜索问题——“搜索二维矩阵 II”。题目要求在一个具有特定性质的二维矩阵中查找目标值。矩阵的每一行从左到右升序排列，每一列从上到下升序排列。我们需要设计一个高效的算法来判断目标值是否存在于矩阵中。

二、题目描述

给定一个二维矩阵matrix和一个目标值target，矩阵的行数为m，列数为n。矩阵满足以下性质：

• 每一行的元素从左到右升序排列。
• 每一列的元素从上到下升序排列。

我们需要判断目标值target是否存在于矩阵中。

示例 1：

输入：

matrix = [
  [1, 4, 7, 11, 15],
  [2, 5, 8, 12, 19],
  [3, 6, 9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
target = 5

输出：true

示例 2：

输入：

matrix = [
  [1, 4, 7, 11, 15],
  [2, 5, 8, 12, 19],
  [3, 6, 9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
target = 20

输出：false

约束条件：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 300
• -10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
• 每一行的所有元素从左到右升序排列
• 每一列的所有元素从上到下升序排列
• -10^9 <= target <= 10^9

三、解题思路分析

1. 错误思路回顾

在解题过程中，我们可能会尝试一些直观的思路，但这些方法往往效率低下或存在逻辑错误。例如，从矩阵的左上角开始逐行逐列搜索，或者在矩阵中随机选择一个起点进行搜索。这些方法的时间复杂度较高，无法满足题目对效率的要求。

2. Z字形查找算法

经过分析，我们发现一种高效的搜索方法——Z字形查找。这种方法利用了矩阵的有序性，从矩阵的右上角（或左下角）开始搜索，通过逐步调整搜索范围，快速定位目标值。

算法步骤：

1. 初始化：从矩阵的右上角开始搜索，设当前坐标为(x, y)，其中x = 0，y = n - 1。
2. 搜索过程：
   • 如果matrix[x][y] == target，说明找到了目标值，返回true。
   • 如果matrix[x][y] > target，由于每一列是升序排列的，当前列的所有元素都大于目标值，因此将y减1，即向左移动。
   • 如果matrix[x][y] < target，由于每一行是升序排列的，当前行的所有元素都小于目标值，因此将x加1，即向下移动。
3. 边界条件：如果搜索过程中超出矩阵的边界（x >= m或y < 0），说明目标值不存在，返回false。

3. 算法优势

Z字形查找算法充分利用了矩阵的有序性，避免了不必要的搜索。其时间复杂度为O(m + n)，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。相比暴力搜索（时间复杂度为O(m * n)），这种方法效率显著提高。

四、代码实现

以下是基于Z字形查找算法的C语言实现：

bool searchMatrix(int** matrix, int matrixSize, int* matrixColSize, int target) {
    int m = matrixSize;       // 矩阵的行数
    int n = *matrixColSize;   // 矩阵的列数
    int x = 0, y = n - 1;     // 从右上角开始搜索

    while (x < m && y >= 0) { // 确保搜索范围在矩阵内
        if (matrix[x][y] == target) { // 找到目标值
            return true;
        } else if (matrix[x][y] > target) { // 当前值大于目标值，向左移动
            y--;
        } else { // 当前值小于目标值，向下移动
            x++;
        }
    }

    return false; // 超出矩阵边界，目标值不存在
}

代码说明：

1. 初始化：x为0，y为矩阵的列数减1，即从右上角开始。
2. 循环条件：x < m且y >= 0，确保搜索范围在矩阵内。
3. 搜索逻辑：
   • 如果当前值等于目标值，直接返回true。
   • 如果当前值大于目标值，向左移动（y--）。
   • 如果当前值小于目标值，向下移动（x++）。
4. 返回结果：如果超出矩阵边界仍未找到目标值，返回false。

五、测试用例

测试用例 1：

matrix = [
  [1, 4, 7, 11, 15],
  [2, 5, 8, 12, 19],
  [3, 6, 9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
target = 5

输出：true

测试用例 2：

matrix = [
  [1, 4, 7, 11, 15],
  [2, 5, 8, 12, 19],
  [3, 6, 9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]
target = 20

输出：false

测试用例 3：

matrix = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]
target = 7

输出：true

六、总结

通过Z字形查找算法，我们能够高效地解决“搜索二维矩阵 II”问题。这种方法充分利用了矩阵的有序性，避免了暴力搜索的低效性。在实际应用中，我们还可以根据矩阵的性质选择其他优化策略，例如从左下角开始搜索，逻辑与从右上角类似。
这题本质上就是从右上角往右下角遍历，还是比较容易的。