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布朗运动（Brownian Motion）：随机世界的舞者

news 来源：原创 2025/6/10 11:43:15

布朗运动（Brownian Motion）：随机世界的舞者

在随机微分方程（SDE）和生成模型（如扩散模型）的研究中，布朗运动（Brownian Motion）是一个绕不开的核心概念。它不仅在数学和物理学中有着深远意义，还为现代机器学习中的随机过程提供了理论基础。本篇博客将以直观的语言，面向具有一定深度学习背景的研究者，介绍布朗运动的定义、特性及其与 SDE 的联系，帮助你理解这个“随机世界的舞者”。

什么是布朗运动？

布朗运动最初由植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）在 1827 年观察到：悬浮在水中的花粉颗粒会无规则地运动。后来，爱因斯坦在 1905 年用统计物理学解释了这一现象，认为它是水分子随机碰撞的结果。数学上，布朗运动被定义为一种连续时间的随机过程，通常记作 ( $W (t)$ ) 或 ( $B (t)$ )，也称为维纳过程（Wiener Process）。

简单来说，布朗运动就像一个“醉汉走路”：每一步的方向和距离都是随机的，路径看起来杂乱无章，但在统计上却有规律可循。

布朗运动的数学定义

布朗运动 ( $W (t)$ )（( $\geq 0$ )）是一个随机过程，满足以下性质：

初始条件：
$W (0) = 0$
起点固定在原点。
独立增量：
对于任意 ( $\leq s < t$ )，增量 ( $W (t) - W (s)$ ) 与过去的路径 ( $W (u)$ )（( $\leq s$ )）独立。
正态增量：
增量 ( $\sim \mathcal{N}(0, t - s)$ )，均值为 0，方差与时间间隔成正比。
路径连续：
( $W (t)$ ) 是时间 ( $t$ ) 的连续函数（但不可导，见后文）。

直观理解

随机步长：从 ( $t = s$ ) 到 ( $\Delta t$ )，( $W (t)$ ) 的变化像从正态分布 ( $\mathcal{N}(0, \Delta t)$ ) 中采样。
无记忆性：下一步往哪走，完全不依赖之前的路径。
抖动路径：路径连续但充满“锯齿”，放大后依然粗糙。

布朗运动与白噪声

在 SDE 中，布朗运动的“导数”常被提及，但严格来说 ( $W (t)$ ) 不可导。为什么？因为它的路径过于“崎岖”，在任何微小时间间隔内变化都很大，导数无定义。数学家用白噪声 ( $\xi(t)$ ) 来表示这种“导数”的概念：
$\frac{dW(t)}{dt} = \xi(t), \quad \xi(t) \sim \mathcal{N}(0, I)$

白噪声 ( $\xi(t)$ )：均值为 0，方差无限大的随机扰动（理想化概念）。
微分形式：( $\xi(t) dt$ )，表示布朗运动在 ( $d t$ ) 时间内的微小增量。

实际上，白噪声是布朗运动增量的极限形式，而 ( $d W (t)$ ) 是布朗运动的微分记号。

布朗运动在 SDE 中的角色

随机微分方程（SDE）是 ODE 的随机扩展，形式如：
$d x (t) = f (t, x) d t + g (t, x) d W (t)$

( $f (t, x) d t$ )：确定性漂移项，描述系统的趋势。
( $g (t, x) d W (t)$ )：随机扩散项，由布朗运动驱动。

积分形式

解 SDE 时，写成积分形式：
$\int_0^t f(s, x(s)) ds + \int_0^t g(s, x(s)) dW(s)$

第一项：普通的黎曼积分。
第二项：伊藤积分（Ito Integral，可以参考笔者的另一篇博客：伊藤积分（Ito Integral）：随机世界中的积分魔法），处理随机项 ( $d W (s)$ )。

由于 ( $W (t)$ ) 的随机性，( $x (t)$ ) 不再是确定的函数，而是一个随机过程，每条路径对应一个可能的 ( $W (t)$ ) 实现。

例子：随机行走

假设 ( $\sigma dW(t)$ )（无漂移），解为：
$\sigma W(t)$
这正是布朗运动的缩放版本，路径随机波动，方差随时间 ( $t$ ) 线性增长。

布朗运动的特性与意义

不可导性：
( $W (t)$ ) 的路径是连续但无处可微的，分形维度约为 1.5，比直线（1维）更“粗糙”。
马尔可夫性：
未来的 ( $W (t)$ ) 只依赖当前值，不依赖历史路径。
自相似性：
放大或缩小时间尺度后，布朗运动的统计性质不变。

这些特性使布朗运动成为随机建模的基石。

在深度学习中的应用

布朗运动在现代机器学习中无处不在，尤其在生成模型中：

扩散模型（如 DDPM）：
- 前向过程添加噪声：( $x_t = \sqrt{\overline{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} \epsilon$ )，( $\epsilon$ ) 是高斯噪声，类似布朗运动的增量。
- 逆过程用 SDE 表示：( $d x = f (x, t) d t + g (t) d W (t)$ )，从噪声恢复数据。
Langevin 动力学：
- NCSN 的采样公式 ( $x_{t+1} = x_t + \alpha s_\theta(x_t) + \sqrt{\alpha} z_t$ ) 中，( $z_t$ ) 是布朗运动的离散模拟。