MIT-0-1背包问题

问题描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。第 $i$ 件物品的体积是 $w_i$，价值是 $v_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

例子

算法实现

动态规划是不断决策求最优解的过程，0-1 背包即是不断对第 $i$ 个物品的做出决策，0-1代表不选与选两种决定。

1. 初始化：$dp[0][i]=dp[i][0]=0$
2. 当前背包容量不够 $j<w[i]$，没得选，$dp[i][j]=dp[i-1][j]$
3. 当前背包容量够 $j\ge w[i]$：

• 选：$dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]$：前 $i-1$ 个物品，背包容量为 $j$ 下，空出第 $i$ 个元素所需要的空间的最优解，然后再加上第 $i$个物品的价值，即是前 $i$ 个物品，背包容量为 $j$ 下的最优解。
• 不选：$dp[i][j]=dp[i-1][j]$

int dp[n][m];
int w[n], v[n];/* 初始化 */
for (int i = 0; i <= m; i ++ ) dp[0][i] = 0;for (int i = 0; i <= n; i ++ ) dp[i][0] = 0;/* 动态规划 */
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{for (int j = 1; j <= m; j ++ ){if (j < w[i]) // 当前背包容量不够，没得选，dp[i][j]=dp[i-1][j]dp[i][j] = dp[i - 1][j];else // 当前背包容量够dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])}
}return dp[n][m];

时间复杂度：$O(nm)$