SVD分解后的各个矩阵的深层理解

svd分解的三个矩阵的含义

奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一个强大的矩阵分解工具，它可以将任何一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 分解为三个矩阵的乘积：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中：

• $A$ 是一个 $m\times n$ 的实数矩阵。

这三个矩阵各自有其深刻的数学含义和在数据分析、机器学习等领域的实际应用意义。

1. 矩阵 $U$ (Left Singular Vectors / 左奇异向量)

• 形状： $m\times m$ 的正交矩阵（Orthogonal Matrix）。
  • 这意味着 $U^{T}U=I$ (单位矩阵)，所以 $U^{-1}=U^T$。
• 含义：
  1. 列空间的正交基： $U$ 的列向量是矩阵 $A{A}^T$ 的特征向量，它们构成 $A$ 的列空间（Column Space）的一组标准正交基（Orthonormal Basis）。
  2. 行数据的特征/模式： 在数据分析中，如果 $A$ 的行代表样本（例如，文档），列代表特征（例如，词语），那么 $U$ 的列向量可以被解释为潜在的语义概念、主题或模式。它们表示了原始数据（尤其是行）在新的、抽象维度上的表达。
  3. 数据变换： $U$ 可以看作是对 $A$ 的行空间进行的一个旋转或反射变换，将原始行数据映射到一个新的、由左奇异向量定义的正交空间中。
  4. 在PCA中的对应： 当 $A$ 是中心化后的数据矩阵时，$A{A}^T$ 的特征向量（即 $U$ 的列）与数据的主成分分析（PCA）中的主成分方向密切相关。

2. 矩阵 $\Sigma$ (Singular Values / 奇异值)

• 形状： $m\times n$ 的对角矩阵（Diagonal Matrix），其对角线上的元素是非负实数。
  • 对角线上的元素 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{\min (m,n)}$ 被称为奇异值，它们通常按降序排列：${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \dots \ge {\sigma }_{\min (m,n)}\ge 0$。
  • 非对角线上的元素均为0。
  • 如果 $m\ne n$，则除了左上角的 $\min (m,n)\times \min (m,n)$ 子矩阵外，其余部分均为0。
• 含义：
  1. 重要性/强度： 每个奇异值 ${\sigma }_i$ 衡量了其对应的左奇异向量（U的第 $i$ 列）和右奇异向量（V的第 $i$ 列）所代表的“模式”或“维度”的重要性或强度。奇异值越大，表示该维度在原始数据中承载的信息（或方差）越多。
  2. 数据维度： 非零奇异值的数量等于矩阵 $A$ 的秩（Rank）。
  3. 能量/信息： 奇异值可以被视为数据中“能量”或“信息”的量化。在数据降维或压缩中，我们通常保留最大的几个奇异值及其对应的奇异向量，因为它们捕捉了数据中最重要的结构。
  4. 几何拉伸因子： 在几何上，矩阵 $A$ 可以被看作是一个线性变换，它将单位球体映射成一个椭球体。奇异值就是这个椭球体的半轴长度。

3. 矩阵 $V^T$ (Right Singular Vectors - Transposed / 右奇异向量的转置)

• 形状： $n\times n$ 的正交矩阵的转置。
  • 这意味着 $V^{T}V=I$ (单位矩阵)，所以 $V^{-1}=V^T$。
  • $V$ 的列向量（即 $V^T$ 的行向量）是矩阵 $A^{T}A$ 的特征向量。
• 含义：
  1. 行空间的正交基： $V$ 的列向量（或 $V^T$ 的行向量）构成 $A$ 的行空间（Row Space）的一组标准正交基。
  2. 列数据的特征/模式： 在数据分析中，如果 $A$ 的行代表样本，列代表特征，那么 $V$ 的列向量可以被解释为原始特征（列）在新的、抽象维度上的组合或模式。它们表示了原始数据（尤其是列）在新的、抽象维度上的表达。
  3. 数据变换： $V^T$ 可以看作是对 $A$ 的列空间进行的一个旋转或反射变换，将原始列数据映射到一个新的、由右奇异向量定义的正交空间中。
  4. 在PCA中的对应： 当 $A$ 是中心化后的数据矩阵时，$A^{T}A$ 的特征向量（即 $V$ 的列）与数据的主成分分析（PCA）中的主成分方向是完全一致的。

总结和几何解释

SVD 提供了一种非常直观的理解矩阵线性变换的方式：

任何一个线性变换（由矩阵 $A$ 表示）都可以被分解为三个基本操作的序列：

1. 旋转或反射： 由 $V^T$ 完成，它将输入空间（例如，单位球体）旋转或反射到一个新的正交坐标系。
2. 缩放或拉伸： 由 $\Sigma$ 完成，它沿着新的坐标轴（由 $V^T$ 定义）进行缩放，缩放因子就是奇异值。
3. 另一个旋转或反射： 由 $U$ 完成，它将缩放后的空间旋转或反射到输出空间。

简而言之：

• $U$ 描述了行空间的变化（或输出空间的新基）。
• $\Sigma$ 描述了每个维度（或概念）的重要性或强度。
• $V^T$ 描述了列空间的变化（或输入空间的新基）。

通过 SVD，我们可以揭示矩阵内部最本质的线性结构，这使得它在数据压缩、降维（如PCA）、推荐系统、图像处理、信号处理和自然语言处理等领域都有广泛的应用。例如，在低秩近似中，我们可以只保留最大的 $k$ 个奇异值和对应的 $k$ 个奇异向量，从而用更少的存储空间来近似原始矩阵，同时保留大部分重要信息。

V的列向量们表示的A矩阵行空间的标准正交基

SVD 与 $A^{T}A$ 的关系

矩阵 $V$ 的列向量（或 $V^T$ 的行向量）被称为右奇异向量（Right Singular Vectors）。它们是矩阵 $A^{T}A$ 的特征向量。

让我们推导一下：
$$A^{T}A=(U\Sigma V^T{)}^T(U\Sigma V^T)$$
$$A^{T}A=(V{\Sigma }^T{U}^T)(U\Sigma V^T)$$
由于 $U$ 是正交矩阵，所以 $U^{T}U=I$ (单位矩阵)。
$$A^{T}A=V{\Sigma }^{T}I\Sigma V^T$$
$$A^{T}A=V({\Sigma }^T\Sigma )V^T$$

现在，我们来看 ${\Sigma }^T\Sigma$。
$\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的对角矩阵，其对角线元素是奇异值 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{\min (m,n)}$。
${\Sigma }^T\Sigma$ 将是一个 $n\times n$ 的对角矩阵，其对角线元素是奇异值的平方：
$${\Sigma }^T\Sigma =\text{diag}({\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\dots ,{\sigma }_r^2,0,\dots ,0)$$
其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩（即非零奇异值的数量）。

所以，$A^{T}A=V\text{diag}({\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_r^2,0,\dots ,0)V^T$。
这正是矩阵 $A^{T}A$ 的特征值分解形式：

• $V$ 的列向量是 $A^{T}A$ 的特征向量。
• $\text{diag}({\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_r^2,0,\dots ,0)$ 是 $A^{T}A$ 的特征值。

什么是行空间、基

行空间 (Row Space)

• 定义： 对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$，它的行空间是由矩阵 $A$ 的所有行向量的线性组合所构成的向量空间。
• 简单来说： 如果你把矩阵的每一行看作一个向量，那么行空间就是这些向量所能“张成”（span）的所有向量的集合。也就是说，行空间包含了所有可以表示为 $c_1{\mathbf{r}}_1+c_2{\mathbf{r}}_2+\cdots +c_m{\mathbf{r}}_m$ 的向量，其中 ${\mathbf{r}}_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行向量，$c_i$ 是任意标量。
• 维度： 行空间的维度等于矩阵的秩（Rank）。

基 (Basis)

• 定义： 对于一个向量空间（比如行空间），它的“基”是一组特殊的向量，满足两个条件：
  1. 线性无关 (Linearly Independent)： 这组向量中，没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
  2. 张成 (Spans)： 这组向量的线性组合可以生成向量空间中的所有向量。
• 简单来说： 基就像是向量空间的“骨架”或“坐标轴”。它是用最少的向量来完全描述整个向量空间。任何在向量空间中的向量都可以且只能唯一地表示为基向量的线性组合。
• 数量： 基中向量的数量等于向量空间的维度。

行空间与 $A^{T}A$ 的特征向量

在线性代数中，有一个重要的定理：
矩阵 $A$ 的行空间（Row Space）是由 $A^{T}A$ 的对应于非零特征值的特征向量所张成的。（也就是A的行向量可以由V的列向量线性组合）
或者说，这些特征向量构成行空间的一组标准正交基。

结合前面的推导：

• $A^{T}A$ 的非零特征值是 ${\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_r^2$。
• 对应这些非零特征值的特征向量就是矩阵 $V$ 的前 $r$ 列。

因此，矩阵 $V$ 的前 $r$ 列（即对应于非零奇异值的右奇异向量）构成矩阵 $A$ 的行空间的一组标准正交基。
（而 $V$ 的后 $n-r$ 列，对应于零奇异值，则构成 $A$ 的零空间（Null Space）的一组标准正交基）。

为什么V的列向量往往是最小二乘的解（“V的列向量 (或 V^T 的行向量)” 的含义）

• $V$ 是一个正交矩阵，其列向量是相互正交的单位向量。 $V$ 的列向量（也就是右奇异向量）提供了矩阵 $A$ 的行空间的一组标准正交基。

• $V$的列向量表示A的行向量信息变化的方向，列向量对应的奇异值表示A行向量信息在对应方向的变化大小，所以V的对应最小奇异值的列向量是$Ax=0$的解。 例如：在进行平面拟合的时候，A的行向量是每个三维点的齐次坐标，V的列向量表示的是A的行向量变化的各个方向，奇异值大小反应变化的大小，所以V的奇异值最小值对应的列向量刚好平面点云变化最小的方向，也就是平面的法向量。

V作为“A行空间的正交基”就是指：

1. 一组向量，它们都位于矩阵 $A$ 的行空间中。
2. 这组向量是线性无关的。
3. 这组向量可以张成（生成）整个行空间。
4. 这组向量中的任意两个向量都是相互垂直的（正交的）。
5. （如果是标准正交基）这组向量中的每个向量的长度都为1。

V矩阵的意义：

• 降维和特征提取： 通过选择这些基向量中最重要的几个（对应于最大的奇异值），我们可以捕捉到原始数据（行）中最主要的特征和结构，实现数据的降维。
• 数据变换： 将原始数据投影到由这些正交基向量形成的新坐标系中，可以消除数据中的冗余信息，使得数据在新的维度上是独立的，这在机器学习和数据分析中非常有用。
• 数学美感和计算稳定性： 正交基在数学上具有很好的性质，例如方便计算投影、更容易进行数值稳定运算等。

总结：

简单来说，SVD 通过 $V$ 矩阵为我们提供了一个“最佳”的、正交的坐标系，来理解和表示矩阵 $A$ 的行所代表的数据。 更具体地，是对应于非零奇异值的那些 $V$ 的列向量构成了行空间的正交基。 这些基向量是“特殊”的，因为它们不仅是正交的，而且它们还是 $A^{T}A$ 的特征向量。这意味着它们代表了数据（矩阵的行）中最重要的、相互独立的变化方向。

V的列向量在主成分分析中的意义

在奇异值分解（SVD）中，矩阵 $V$ 中对应于最小奇异值（或 $A^{T}A$ 的最小特征值）的列向量，表示了矩阵 $A$ 的行数据中变化（或方差）最小的方向。

我们来详细解释一下：

SVD 和 $A^{T}A$ 的关系

矩阵 $A$ 的 SVD 是 $A=U\Sigma V^T$。
其中：

• $U$ 的列向量是左奇异向量。
• $\Sigma$ 的对角线元素是奇异值 ${\sigma }_i$，通常按降序排列：${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_n\ge 0$。
• $V$ 的列向量是右奇异向量，它们是 $A^{T}A$ 的特征向量。

我们知道 $A^{T}A=V{\Sigma }^T\Sigma V^T$。
这里的 ${\Sigma }^T\Sigma$ 是一个对角矩阵，其对角线元素是奇异值的平方 ${\sigma }_i^2$。
所以，$A^{T}A$ 的特征值是 ${\sigma }_i^2$，而 $V$ 的列向量就是对应的特征向量。

奇异值和变化/方差的关系

1. 数据的表示：
   如果我们将矩阵 $A$ 视为一个数据矩阵，其中每一行是一个样本，每一列是一个特征。那么 $A$ 的行空间描述了这些样本在特征空间中的分布。

2. 右奇异向量作为方向：
   $V$ 的列向量 ($v_1,v_2,\dots ,v_n$) 构成了一个由 $n$ 个相互正交的单位向量组成的基。这些向量可以看作是特征空间中的方向。

3. 奇异值作为重要性/方差：
   每个奇异值 ${\sigma }_i$ 衡量了其对应的右奇异向量 $v_i$ 所代表的这个方向上，数据（矩阵 $A$ 的行）的重要性、强度或“变化量”。
   更具体地说，当我们将 $A$ 的行数据投影到 $v_i$ 方向上时，这些投影的方差与 ${\sigma }_i^2$ 成正比。

   • 较大的奇异值 ${\sigma }_i$： 意味着数据在对应方向 $v_i$ 上有较大的变化或分散程度。这个方向捕捉了数据中最重要的结构或信息。
   • 较小的奇异值 ${\sigma }_i$： 意味着数据在对应方向 $v_i$ 上的变化或分散程度很小。这个方向上的信息量较少，或者数据点在这个方向上非常接近。
   • 奇异值为零 ${\sigma }_i=0$： 意味着数据在对应方向 $v_i$ 上根本没有变化。所有的行向量在该方向上的投影都为零（或者说，该方向与数据的行空间正交，它属于矩阵 $A$ 的零空间）。

为什么是“行变化最小的方向”？

• SVD 按照奇异值从大到小排列。因此，$v_1$ 对应最大的 ${\sigma }_1$，表示数据变化最大的方向；$v_n$ 对应最小的 ${\sigma }_n$，表示数据变化最小的方向。
• 这个“变化”可以理解为数据点（矩阵的行）在某个方向上的分散程度或方差。
• 因此，$V$ 中对应最小奇异值的列向量，确实代表了原始数据（矩阵 $A$ 的行）在 $n$ 维特征空间中变化最不明显、最不重要或包含信息最少的方向。

实际应用

1. 降维（Dimensionality Reduction）： 在PCA等技术中，我们通常会丢弃对应于较小奇异值的维度（即 $V$ 的后几列），因为它们携带的信息量少，甚至可能是噪声，从而实现数据压缩和去噪。
2. 数据去噪： 小的奇异值往往与数据中的噪声相关联。通过截断 SVD（只保留大的奇异值），可以有效去除噪声。
3. 线性依赖： 如果一个奇异值 ${\sigma }_i=0$，那么对应的右奇异向量 $v_i$ 位于矩阵 $A$ 的零空间中。这意味着 $A{v}_i=0$，表示矩阵 $A$ 的列之间存在线性依赖关系，或者说 $v_i$ 是 $A$ 无法“看到”的方向。
4. 常用在求解最小二乘问题分析当中，比如平面拟合，直线拟合解为什么分别对应的V最小奇异值列向量和最大奇异值列向量。

总结：

是的，矩阵 $V$ 中与最小奇异值相关联的列向量（右奇异向量），确实指示了矩阵 $A$ 的行数据中变化或方差最小的方向。

U在主成分分析里的意义

在奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ 中：

1. $U$ 的列向量（左奇异向量）：它们是矩阵 $A{A}^T$ 的特征向量，并且构成矩阵 $A$ 的**列空间（Column Space）**的一组标准正交基。
2. $\Sigma$ 的对角线元素（奇异值 ${\sigma }_i$）：每个奇异值 ${\sigma }_i$ 衡量了其对应的左奇异向量 $u_i$（$U$ 的第 $i$ 列）所代表的方向上，矩阵 $A$ 的列数据的重要性或“变化量”。

为什么 $U$ 中对应最小特征值的列向量表示 $A$ 中列向量变化最小的方向？

• 奇异值的物理意义： 每个奇异值 ${\sigma }_i$ 表示了原始数据（无论是 $A$ 的行还是 $A$ 的列）在相应奇异向量方向上的“能量”或“方差”大小。

  • 对于右奇异向量 $v_i$（$V$ 的列），它描述了 $A$ 的行向量在特征空间（输入空间）中的变化方向。
  • 对于左奇异向量 $u_i$（$U$ 的列），它描述了 $A$ 的列向量在样本空间（输出空间）中的变化方向。

• 排序的奇异值： 奇异值 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_{\min (m,n)}\ge 0$ 总是按降序排列。

  • 最大的奇异值 ${\sigma }_1$ 及其对应的 $u_1$ 和 $v_1$ 捕捉了数据中最大的变化（方差）方向。
  • 最小的奇异值 ${\sigma }_{\min (m,n)}$ 及其对应的 $u_{\min (m,n)}$ 和 $v_{\min (m,n)}$ 捕捉了数据中最小的变化（方差）方向。

因此，$U$ 中对应最小奇异值 ${\sigma }_{\min (m,n)}$ 的列向量 $u_{\min (m,n)}$，表示了矩阵 $A$ 的列向量中变化（或方差）最小的方向。

总结：

• $V$ 的列向量：构成了 $A$ 的行空间的正交基，代表了 $A$ 的行（通常是样本）在特征空间中的主要变化方向。
• $U$ 的列向量：构成了 $A$ 的列空间的正交基，代表了 $A$ 的列（通常是特征或者数据点在输出空间中的表达）在样本空间中的主要变化方向。

两者都与奇异值关联，大的奇异值对应大的变化方向，小的奇异值对应小的变化方向。所以，无论是 $U$ 还是 $V$，其对应最小奇异值的列向量都表示了在各自空间中数据变化最小的方向。