用Python来学微积分31-定积分的概念与几何意义详解

一、定积分的基本思想：从面积问题说起

定积分的核心思想源于计算曲边梯形面积的实际需求。当我们面对一个由任意曲线 $y=f(x)$ 构成的图形时，无法直接用简单的几何公式计算其面积，这就需要一种新的数学工具。

核心思路：采用"分割-近似-求和-取极限"的方法。具体来说，就是将曲边梯形分割成许多细长的矩形，用这些矩形面积的和来近似曲边梯形的面积。当分割越来越细时，近似值就会越来越精确，其极限值就是曲边梯形的精确面积。

下面通过Python代码可视化这一过程：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Rectangledef visualize_riemann(f, a, b, n=10):"""可视化黎曼和逼近曲边梯形面积的过程"""x = np.linspace(a, b, 1000)y = f(x)fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))# 左图：函数曲线和分割示意ax1.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='y = f(x)')ax1.set_xlabel('x')ax1.set_ylabel('y')ax1.set_title('曲边梯形示意图')ax1.grid(True, alpha=0.3)ax1.legend()# 右图：黎曼和可视化x_divisions = np.linspace(a, b, n+1)ax2.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='y = f(x)')# 计算中点黎曼和riemann_sum = 0for i in range(n):x_left = x_divisions[i]x_right = x_divisions[i+1]x_mid = (x_left + x_right) / 2y_mid = f(x_mid)width = x_right - x_left# 添加矩形rect = Rectangle((x_left, 0), width, y_mid, alpha=0.3, color='red')ax2.add_patch(rect)riemann_sum += y_mid * widthax2.set_xlabel('x')ax2.set_ylabel('y')ax2.set_title(f'黎曼和逼近 (n={n}, 面积近似值: {riemann_sum:.4f})')ax2.grid(True, alpha=0.3)ax2.legend()plt.tight_layout()plt.show()return riemann_sum# 示例：计算 y = x² 在 [0, 1] 上的积分
def f_example(x):return x**2# 可视化不同分割精细度的逼近效果
for n in [5, 10, 20]:approximate_area = visualize_riemann(f_example, 0, 1, n)theoretical_area = 1/3print(f"n={n}: 近似面积={approximate_area:.4f}, 误差={abs(approximate_area - theoretical_area):.4f}")

代码执行结果分析： 当运行上述代码时，你会看到随着矩形数量 n 的增加，红色矩形越来越紧密地填充在曲线下方，其总面积（黎曼和）也越来越接近曲边梯形的真实面积。

二、定积分的精确定义

2.1 黎曼和的构造过程

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，定积分的精确定义基于以下四个步骤：

步骤1：区间划分 将区间 $[a,b]$ 任意划分为 $n$ 个子区间： $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

每个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 的长度为： $$\Delta x_k=x_k-x_{k-1}(k=1,2,\cdots ,n)$$

划分的精细程度用最大子区间长度表示： λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​}

步骤2：取样点选择 在每个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上任取一点 ${\xi }_k$，即： $${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k]$$

步骤3：黎曼和构造 构造和式： $$I_n=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k$$ 这个和式称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的黎曼和或积分和。

步骤4：极限定义 如果当划分越来越细（即 $\lambda \to 0$）时，黎曼和的极限存在且与划分方式及取样点选择无关，则这个极限值就是定积分： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k$$

2.2 定积分的各部分名称

• 被积函数：$f(x)$
• 积分变量：$x$
• 积分下限：$a$
• 积分上限：$b$
• 被积表达式：$f(x)dx$
• 积分号：$\int$

2.3 定积分的基本性质

1. 积分值与积分变量无关: 定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的值是一个常数，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的大小只与被积函数 f(x) 及积分区间[a, b] 有关， 而与 积分变量 x 无关，所以：
   $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du$$

2. 端点性质： $${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$ $${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

三、定积分的几何意义

3.1 非负函数的几何意义

当 $f(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上连续时，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 和 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

经典示例：计算 ${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx$

这个积分表示的是四分之一圆的面积（半径为2）。

根据圆的面积公式 $A=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi$，四分之一圆的面积为： $${\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{4}\cdot 4\pi =\pi$$
让我们通过可视化来理解：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mathdef visualize_circle_area():"""可视化四分之一圆面积的计算"""# 创建半圆曲线x = np.linspace(0, 2, 1000)y = np.sqrt(4 - x**2)fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))# 绘制四分之一圆ax.plot(x, y, 'b-', linewidth=3, label='y = √(4-x²)')ax.fill_between(x, y, alpha=0.3, color='blue')# 添加标注ax.text(1, 0.7, '四分之一圆区域', fontsize=12, ha='center')ax.text(1, 0.5, '面积 = π', fontsize=12, ha='center')# 设置坐标轴ax.set_xlim(0, 2.5)ax.set_ylim(0, 2.5)ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('y')ax.set_title('四分之一圆: ∫₀² √(4-x²) dx = π')ax.grid(True, alpha=0.3)ax.set_aspect('equal')# 添加坐标轴箭头ax.arrow(0, 0, 2.2, 0, head_width=0.05, head_length=0.1, fc='k', ec='k')ax.arrow(0, 0, 0, 2.2, head_width=0.05, head_length=0.1, fc='k', ec='k')plt.show()# 计算数值结果theoretical_area = math.pinumerical_area, error = quad(lambda x: np.sqrt(4-x**2), 0, 2)print(f"理论值 (π): {theoretical_area:.10f}")print(f"数值计算: {numerical_area:.10f}")print(f"绝对误差: {abs(numerical_area - theoretical_area):.2e}")visualize_circle_area()

运行结果:

理论值 (π): 3.1415926536
数值计算: 3.1415926536
绝对误差: 8.88e-16

3.2 一般情况的几何意义

• 当 $f(x)\le 0$ 时：定积分值为曲边梯形面积的相反数
• 当 $f(x)$ 变号时：定积分值为各部分面积的代数和（$x$轴上方取正，下方取负）

下面通过可视化展示这种情况：

def visualize_signed_area():"""可视化有正负面积的函数积分"""# 创建一个在x轴上下都有值的函数x = np.linspace(0, 4, 1000)y = np.sin(x)  # 正弦函数在区间内会穿越x轴fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))# 绘制函数曲线ax.plot(x, y, 'b-', linewidth=3, label='y = sin(x)')ax.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)  # x轴# 填充不同区域（不同颜色）# x轴上方区域（正面积）ax.fill_between(x, y, where=y>0, alpha=0.3, color='green', label='正面积')# x轴下方区域（负面积）ax.fill_between(x, y, where=y<0, alpha=0.3, color='red', label='负面积')# 计算各部分面积area_positive = quad(lambda x: max(0, np.sin(x)), 0, 4)area_negative = quad(lambda x: min(0, np.sin(x)), 0, 4)total_area = area_positive + area_negative# 添加标注ax.text(1, 0.8, f'正面积: {area_positive:.2f}', fontsize=12)ax.text(2.5, -0.8, f'负面积: {area_negative:.2f}', fontsize=12)ax.text(2, 1.2, f'定积分值: {total_area:.2f}', fontsize=14, ha='center', bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="yellow"))ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('y')ax.set_title('定积分的几何意义：正负面积的代数和')ax.grid(True, alpha=0.3)ax.legend()plt.show()visualize_signed_area()

运行结果:

四、定积分概念的实际应用

定积分概念不仅仅是一个抽象的数学工具，它在实际问题中有直接的应用：

4.1 物理应用：变速直线运动的路程

对于做变速直线运动的物体，如果知道其速度函数 $v(t)$，那么从时间 $a$ 到 $b$ 所经过的路程可以表示为： $$s={\int }_a^{b}v(t)dt$$

4.2 经济应用：总成本计算

在经济学中，如果知道边际成本函数 $MC(q)$，那么生产从 $0$ 到 $Q$ 单位产品的总成本为： $$TC={\int }_0^{Q}MC(q)dq$$

总结

定积分的核心概念可以概括为以下几点：

1. 思想基础：采用"分割-近似-求和-取极限"的方法解决曲边梯形面积问题
2. 精确定义：基于黎曼和的极限概念，与分割方式和取样点选择无关
3. 几何意义：
   • 当 $f(x)\ge 0$ 时，表示曲边梯形的面积
   • 一般情况下，表示函数图像与$x$轴所围面积的代数和
4. 基本特征：定积分值是一个确定的常数，只与被积函数和积分区间有关

理解定积分的概念和几何意义是学习微积分后续内容的基础，特别是为理解牛顿-莱布尼茨公式奠定直观基础。

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分29-原函数与不定积分完全指南
• 用Python来学微积分30-微分方程初步

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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