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2.2.6【2020统考真题】

news 2025/11/6 7:56:14

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好的，这是一道深入探讨计算机乘法实现的经典大题。它从软件模拟（无乘法指令）到硬件实现（组合逻辑与时序逻辑），再到溢出判断，全面覆盖了乘法运算的各个层面。

我们来详细地解析这道题。

首先，附上题目原文：

题目原文

(5)【2020统考真题】有实现 x × y 的两个 C 语言函数如下:

unsigned umul(unsigned x, unsigned y) {return x*y;}
int imul(int x, int y) {return x*y;}

假定某计算机 M 中的 ALU 只能进行加减运算和逻辑运算。请回答下列问题。

若 M 的指令系统中没有乘法指令, 但有加法、减法和位移等指令, 则在 M 上也能实现上述两个函数中的乘法运算,为什么?
若 M 的指令系统中有乘法指令, 则基于 ALU、位移器、寄存器及相应控制逻辑实现乘法指令时, 控制逻辑的作用是什么?
针对以下三种情况:a) 没有乘法指令;b) 有使用 ALU 和位移器实现的乘法指令;c) 有使用阵列乘法器实现的乘法指令,函数 umul() 在哪种情况下执行的时间最长? 在哪种情况下执行的时间最短? 说明理由。
n 位整数乘法指令可保存 2n 位乘积, 当只取低 n 位作为乘积时, 其结果可能会发生溢出。当 n = 32, x = 2³¹- 1,y = 2 时, 有符号整数乘法指令和无符号整数乘法指令得到的 x × y 的 2n 位乘积分别是什么 (用十六进制表示)? 此时函数 umul() 和 imul() 的返回结果是否溢出? 对于无符号整数乘法运算,当仅取乘积的低 n 位作为乘法结果时, 如何用 2n 位乘积进行溢出判断?

综合解析与分步详解

问题1分析：用加法和位移模拟乘法

结论: 能实现。
为什么:
- 乘法的本质是重复的加法。例如 5 * 3 就是 5 + 5 + 5。
- 在二进制世界中，这个过程可以被加法和位移操作极大地优化。我们以无符号乘法 x * y 为例，可以模仿手算二进制乘法的过程：
  1. 检查乘数 y 的最低位。
  2. 如果最低位是1，则将当前结果加上被乘数 x。
  3. 将被乘数 x 左移一位 (相当于 x = x * 2)。
  4. 将乘数 y 右移一位 (相当于 y = y / 2)。
  5. 重复以上步骤，直到 y 变为0。
- 这个过程只涉及判断（逻辑运算）、加法和位移，而这些指令在M中都存在。因此，编译器可以将 x*y 这样一个高级语言操作，翻译成一段由这些基本指令组成的循环程序（微程序），从而在软件层面实现乘法。有符号乘法（如Booth算法）也可以用类似的基本操作组合实现。

问题2分析：乘法指令中控制逻辑的作用

背景: 当硬件直接支持乘法指令时，意味着CPU内部有一个专门的乘法器部件。这个部件通常由ALU、位移器、寄存器（如MQ乘商寄存器、ACC累加器）等数据通路元件构成。
控制逻辑的作用: 控制逻辑是这个乘法器部件的“大脑”或“指挥官”。它的作用是发出控制信号，按正确的时序协调数据通路中各个部件的工作。
具体作用:
1. 控制循环次数: 根据操作数的位数（例如32位乘法需要循环32次），生成节拍脉冲，控制操作的步数。
2. 控制操作类型: 在每一个节拍（时钟周期）内，根据乘数相应位是0还是1，决定ALU是执行加法操作还是不操作（直接通过）。
3. 控制数据流动: 控制位移器在每个节拍结束时执行位移操作，并控制数据在寄存器之间的传送。

问题3分析：不同实现方式的性能比较

函数 umul(): 这是一个无符号乘法。
情况 a) 没有乘法指令:
- 乘法是通过一段软件程序（由多条指令组成的循环）来模拟的。
- 执行过程需要反复地取指令、译码、执行多条指令（如判断、加法、位移、循环跳转等）。这个过程涉及到多次访存和CPU内部的完整指令周期，开销非常大。
情况 b) 使用ALU和位移器实现的乘法指令:
- 这是用时序逻辑实现的硬件乘法器。乘法操作由一条单一的机器指令完成。
- CPU执行这条指令时，控制逻辑会产生一系列微操作，在多个时钟周期内完成计算（例如，32位乘法可能需要32个或更多时钟周期）。
- 相比(a)，它不需要反复取指译码，效率大大提高，但仍然需要多个时钟周期。
情况 c) 使用阵列乘法器实现的乘法指令:
- 阵列乘法器是用组合逻辑实现的硬件乘法器。它由大量的加法器和逻辑门直接构成一个运算“电路阵”，可以看作是把循环过程在空间上展开了。
- 特点: 只要输入信号稳定，结果几乎是“瞬间”产生的（只受门延迟影响），整个乘法运算可以在一个时钟周期内完成。
结论:
- 执行时间最长: 情况 a)。因为软件模拟需要执行多条指令，开销最大。
- 执行时间最短: 情况 c)。因为组合逻辑的阵列乘法器速度最快，通常一个时钟周期即可完成。

问题4分析：乘法溢出

1) 计算2n位乘积

n = 32, x = 2³¹ - 1, y = 2
x的32位二进制表示: 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
- 十六进制: 7FFFFFFF H
y的32位二进制表示: 0000 0000 ... 0000 0010
- 十六进制: 00000002 H
计算 x × y:
- x * y = (2³¹ - 1) * 2 = 2³² - 2
2³²的64位二进制表示: 1 后面跟32个0，再跟32个0。即 1 0000...0000 (共64个0)。
2³² - 2 的64位二进制表示:
```
  1 00000000 ... 00000000
-                00000010
---------------------------0 11111111 ... 11111110
```
这个结果是一个64位的数，其最高位是0，后面31个1，然后是...1110。
转换为64位十六进制:
- 高32位: 0111 1111 ... 1111 1111 -> FFFFFFFF H
- 低32位: 1111 1111 ... 1111 1110 -> FFFFFFFE H
结论:
- 无论是有符号乘法还是无符号乘法，当操作数x和y都是正数时，其完整的2n位乘积的二进制位是完全相同的。
- 因此，x × y 的64位乘积是 FFFFFFFFFFFFFFFE H。

2) umul() 和 imul() 返回结果是否溢出

umul() 返回 unsigned int (32位无符号)。
- 范围: [0, 2³² - 1]
- 结果: 2³² - 2。这个值在无符号32位的表示范围内。
- 结论: umul() 不溢出。
imul() 返回 int (32位有符号)。
- 范围: [-2³¹, 2³¹ - 1]
- 结果: 2³² - 2。这个值远远大于有符号32位的最大值 2³¹ - 1。
- 实际截断结果: 完整的64位乘积是 ...FFFFFFFFFFFE。截取低32位是 FFFFFFFE H。这个补码表示的十进制数是 -2。 (2³¹ - 1) * 2 的结果变成了-2，显然是错误的。
- 结论: imul() 发生溢出。

3) 无符号整数乘法溢出判断

背景: n位无符号数 a 乘以 n位无符号数 b，结果是一个2n位的乘积。我们只保留低n位作为结果。
溢出条件: 如果这个2n位的完整乘积，其值大于n位无日志数能表示的最大值 (2ⁿ - 1)，就意味着高n位不全为0，发生了溢出。
判断方法: 检查2n位乘积的高n位。
- 如果高n位全为0，说明乘积的值小于2ⁿ，完整结果可以被低n位无损表示，没有溢出。
- 如果高n位不全为0（即至少有一位是1），说明乘积的值大于等于2ⁿ，超出了n位所能表示的范围，发生了溢出。
结论: 对于无符号整数乘法，当仅取乘积的低n位作为结果时，只需判断2n位乘积的高n位是否全为0。若不全为0，则发生溢出。