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算法学习入门---二分查找（C++）

news 2025/11/5 16:49:23

1.STL中的二分查找

2.牛客网---牛可乐和魔法封印

3.洛谷---A-B数对

4.洛谷---烦恼的高考志愿

5.洛谷---木材加工

6.洛谷---砍树

7.洛谷---跳石头

1.STL中的二分查找

lower_bound：大于等于 x 的最小元素，返回的是迭代器指针；时间复杂度为 O(logN）

使用时有3个参数，lower_bound(begin,end,target)

begin与end是查找的区间，左闭右开即 [begin,end)，所以查找 a 数组 [1,8] 区间的target值，表示成 lower_bound(a+1,a+9,target)

upper_bound：大于 x 的最小元素，返回的是迭代器指针；时间复杂度为 O(logN）

返回的是大于x的最小元素迭代器，其他与lower_bound同

在使用迭代器时，可以使用auto类型来接受lower_bound返回的结果

然后对该结果进行解引用，即 auto it =lower_bound(begin,end,target)，*it 即为it下标的值（相当于返回了一个只有一个值的数组）

注：STL中的二分算法只能对有序数组进行使用，使用的头文件为 algorithm

2.牛客网---牛可乐和魔法封印

非严格单调递增：递增的情况下，可以突然平一下，比如[1,2,2,3]

严格单调递增：递增的情况下，不能突然平一下

用二分查找左端点与二分查找右端点来解决问题（解决思路在leetcode二分查找中讲解了）

但需要注意的是几个特殊情况，因此该题不推荐使用lower_bound、upper_bound来完成，会使题目变得更加复杂（特殊情况在代码注释中有详细说明）

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;int l_search(vector<long>& arr,long target)
{//需要特判，示例一中[-1,4]的情况int n = arr.size();if(target<arr[0]) return 0;int left=0,right=n-1;while(left<right){int mid = left+(right-left)/2;if(target>arr[mid]) left = mid+1;else right = mid;}return left;
}int r_search(vector<long>& arr,long target)
{int n = arr.size();//极限情况需要特判，例如示例一中的[2,6]if(target>arr[n-1]) return n-1; int left=0,right=n-1;while(left<right){int mid = left+(right-left+1)/2;if(target>=arr[mid]) left = mid;else right = mid-1;}return left;
}int main()
{int n;cin>>n;vector<long> arr(n,0);for(int i=0;i<=n-1;i++) cin>>arr[i];int q;cin>>q;for(int i=1;i<=q;i++) {long ret_left,ret_right;cin>>ret_left>>ret_right;if(ret_right<arr[0]||ret_left>arr[n-1]) cout<<0<<endl;//以示例一为例，[-1,0] [6,7] 结果都为0 else cout<<(r_search(arr,ret_right)-l_search(arr,ret_left)+1)<<endl;//返回的是数组下标，因此结果处需要+1 }return 0;
}

3.洛谷---A-B数对

需要的结果是 A-B = C，可以转换为 B = C - A ，这样我们需要求的值就从2个变为了1个，然后找到第一个为B的，再找到最后一个为B的，统计这个区间有多少个B，然后对每个A进行该操作即可。（如下图所示）

此处可以用求左右端点的模板来解决该题，也可以使用upper_bound与lower_bound，因为该题的极限条件没有上一道题目那么多，所以建议使用后者

upper_bound：返回B所在的下标指针

lower_bound：返回比B刚好大1的下标指针，由于是针对 [0,i-1] 区间进行该操作（把 i 位置的元素视作A），所以即使返回了 i 位置的指针也依然满足条件

两个指针，可以通过指针相减的方式，直接获得结果值；只要注意循环从 1 位置开始循环即可，因为数对数对，一定得是一对数才行，i 位置处的数即为数对中的一个数

同时还需要对原数组排序，排序完再使用两个二分stl库函数

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long longsigned main()
{int N,C;cin>>N>>C;vector<int> arr(N,0);for(int i=0;i<=N-1;i++)cin>>arr[i];sort(arr.begin(),arr.end());int ret = 0;for(int i=1;i<=N-1;i++){int A = arr[i]; auto x = lower_bound(arr.begin(),arr.begin()+i,A-C);auto y = upper_bound(arr.begin(),arr.begin()+i,A-C);ret+=(y-x);}cout<<ret;return 0;
}

代码易错点：

upper_bound 和 lower_bound 中，如果要表示数组首元素，就必须以 arr.begin() 来表示，人为规定如此

4.洛谷---烦恼的高考志愿

排序+二分，可以使用lower_bound来辅助解决，需要注意的是score比最小的分数还要小以及比最大的分数还要大两种情况，特判完即可

代码：

#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long longsigned main()
{int m,n;cin>>m>>n;vector<int> schools(m,0);for(int i=0;i<=m-1;i++) cin>>schools[i];sort(schools.begin(),schools.end());int ret = 0;for(int i=1;i<=n;i++){int score;cin>>score;if(score<schools[0]) ret += (schools[0]-score);else if(score>schools[m-1]) ret += (score-schools[m-1]);else{auto it = lower_bound(schools.begin(),schools.end(),score);int school1 = *it;int school2 = *(it-1);if(fabs(score-school1)>fabs(score-school2)) ret+=fabs(score-school2);else ret+=fabs(score-school1);}}cout<<ret;return 0;
}

算法题小诀窍：当发现类型错误时，#define int long long + int main 改为 signed main 可以解决大多数问题

5.洛谷---木材加工

如下图所示，以两根原木分别 11cm 和 21 cm 为例，每段切为5cm的话，即11cm的切出2段，21cm的切出4段，总共6段；如果每段切为4cm的话，可以切出7段，依旧满足条件，但不是最优解

解法1：枚举从 0 cm到 maxlen cm（最长的一根原木的长度）的所有情况，每次判断一遍能切出多少段木头；对于第 i 根木头，可以切出 a[i] / x 段木头，所以假如 c 代表总的切出来的木段数，那么 c += a[i] / x（x为当前切的每段长度）

解法2：二分答案

不难发现 x 与 c 成反比，当 x 为 maxlen 的时候只能切一段，为 1 时能且非常多段，这就是题目的二段性；如下图所示，c（切出来的段数）大于等于k时，说明 x 比较小落在了左边区间内；c 小于k时，说明 x 比较大落在了右边区间；当处于某个 x 值时，c 恰好处于 >=k 与 <k 的界限上，那么就是最后的ret，所以可以把题目转换为寻找区间右端点来解决

寻找区间右端点：left = mid and right = mid - 1，c >= k and c < k

c 的段数可以通过一个 caculator 函数来求出，通过模块性来降低代码的整体复杂度

总结：二分答案为从一堆答案当中，通过二分查找的方式找到最优解，它可以处理大部分[最小的最大值] 和 [最大的最小值] 问题，只要有二段性即可解决问题

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int caculator(vector<int>& a,int x)//统计段数 
{int ret = 0;for(int i=0;i<=a.size()-1;i++)ret+=a[i]/x;return ret;
}int main()
{int n,k;cin>>n>>k;vector<int> forests(n,0);for(int i=0;i<=n-1;i++)cin>>forests[i];sort(forests.begin(),forests.end());int left=0,right=forests[n-1];while(left<right){int mid = left+(right-left+1)/2;if(caculator(forests,mid)>=k) left = mid;else right = mid - 1;}cout<<left;return 0;
}

6.洛谷---砍树

如下图所示，最优解是15cm高的电锯切一刀，20cm的切出5cm，17cm的切出2cm，最后刚好是要求的7cm，现在求这个电锯最高可以放在哪里切

二分答案：

与上题解题思路大致相同，假设 h 表示当前电锯高度，c 表示当伐木机高度为 x 时能切出来的厘米数，则 h 与 c 成反比；所以 c >= M 时，h 在左区间，c < M 时，h 在右区间；对 [0,maxlen] 区间的值进行二分查找，maxlen 为最长的树木长度

根据上题的模板，只要把caculator函数稍微修改一下，就能够ac掉这道题了

注：本题数据大小会比较大，因此需要 #define int long long + signed main

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int caculator(vector<int>& a,int x)//统计厘米 
{int ret = 0;for(int i=0;i<=a.size()-1;i++)if(a[i]>x) ret+=(a[i]-x);return ret;
}signed main()
{int n,k;cin>>n>>k;vector<int> forests(n,0);for(int i=0;i<=n-1;i++)cin>>forests[i];sort(forests.begin(),forests.end());int left=0,right=forests[n-1];while(left<right){int mid = left+(right-left+1)/2;if(caculator(forests,mid)>=k) left = mid;else right = mid - 1;}cout<<left;return 0;
}

7.洛谷---跳石头

L距离之间有N+2块石头，现在可以从中移除2块（不能是第一块/最后一块），要求移除后距离最近的两块相邻石头距离最远，N行数分别代表距离第1块石头的距离

二分答案：

当我们看到最短跳跃距离要尽可能长的这种字眼，就要往动态规划/二分答案/贪心上面去思考

把 x 设为最短跳跃距离，c 设为跳跃距离为 x 下移走的岩石数目；假设把所有石头都移走，那么就得从起点一步跳到终点，通过该极限情况很容易发现 c 与 x 成正比

难点解析：

本题的难点在于，如何求出在跳跃距离为 x 的情况下，移走的岩石数目

可以通过一个双指针的方式来解决，定义双指针 i 、j ，初始都指向起点位置；然后 j 开始向后移动，直到移动到 a[j] - a[i] >= x 的情况下，此时 j - i - 1 即为所需移除的石头数量；然后 i 不要一步步往后移动到 j 位置，直接移到 j 位置即可，因为 i 移动时 j 已经处于最优的情况了，i 不断移动以后只会间隔越来越小，距离 x 也越来越远；最后对整个岩石数组重复该操作，并把每次情况统计到 ret 变量，因为 x 是最短跳跃距离，要所有的相邻石头都满足这个 x

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<limits.h>
using namespace std;
#define int long long
int caculator(vector<int>& a,int x)
{int ret = 0;int i = 0,j = 0,n = a.size();while(i<=n-1){j = i;while(j<=n-1&&a[j]-a[i]<x)j++;ret += (j-i-1);i = j;}return ret;
}signed main()
{int L,N,M;cin>>L>>N>>M;vector<int> stones(N+2,0);stones[N+1] = L;for(int i=1;i<=N;i++) cin>>stones[i];//开始二分答案int left = 0,right = L;while(left<right){int mid = left+(right-left+1)/2;if(caculator(stones,mid)<=M) left = mid;else right = mid - 1;}cout<<left; return 0;
}