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算法解析：从杨辉三角到几何查询的编程实践

news 2025/11/5 8:44:29

引言

在编程学习和算法训练中，我们经常会遇到各种经典的数学问题和几何计算题目。本文将深入解析四个不同类型的算法题目，涵盖杨辉三角的生成、数组操作游戏以及几何查询问题，帮助读者掌握这些经典算法的实现思路和编程技巧。

第一部分：杨辉三角的生成与特性

题目描述

杨辉三角是中国古代数学的杰出成就之一，每个数是它左上方和右上方的数的和。给定一个非负整数 numRows，我们需要生成杨辉三角的前 numRows 行。

算法实现

class Solution {public List<List<Integer>> generate(int numRows) {List<List<Integer>> ret = new ArrayList<List<Integer>>();for (int i = 0; i < numRows; ++i) {List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();for (int j = 0; j <= i; ++j) {if (j == 0 || j == i) {row.add(1);} else {row.add(ret.get(i - 1).get(j - 1) + ret.get(i - 1).get(j));}}ret.add(row);}return ret;}
}

算法解析

边界处理：每行的第一个和最后一个元素都是1
递推关系：中间元素等于上一行相邻两个元素之和
时间复杂度：O(n²)，其中n为行数
空间复杂度：O(n²)，存储整个三角形

示例分析

当 numRows = 5 时，输出为：

第二部分：杨辉三角的特定行获取

题目描述

给定一个非负索引 rowIndex，返回杨辉三角的第 rowIndex 行。这里要求优化空间复杂度，只返回特定行而非整个三角形。

优化实现

class Solution {public List<Integer> getRow(int rowIndex) {List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();row.add(1);for (int i = 1; i <= rowIndex; ++i) {row.add(0);for (int j = i; j > 0; --j) {row.set(j, row.get(j) + row.get(j - 1));}}return row;}
}

优化技巧

滚动数组：只维护当前行，从后往前更新避免覆盖
数学公式：利用组合数公式 C(n,k) = C(n,k-1) × (n-k+1)/k
空间优化：从O(n²)优化到O(n)

第三部分：数组操作游戏

游戏规则

这是一个有趣的数组操作游戏：

初始有一个长度为偶数的整数数组 nums 和一个空数组 arr
每轮Alice先移除最小元素，然后Bob移除次小元素
Bob先将他的元素加入arr，然后Alice加入她的元素
重复直到nums为空

算法实现

class Solution {public int[] numberGame(int[] nums) {Arrays.sort(nums);for (int i = 0; i < nums.length; i += 2) {int tmp = nums[i];nums[i] = nums[i + 1];nums[i + 1] = tmp;}return nums;}
}

算法思路

排序预处理：先将数组排序，便于按顺序取最小元素
元素交换：每两个元素为一组，交换位置实现Bob先添加的规则
时间复杂度：O(n log n)，主要由排序决定

示例演示

输入：nums = [5,4,2,3]

排序后：[2,3,4,5]
分组交换：[3,2,5,4]
输出：[3,2,5,4]

第四部分：几何查询问题

问题描述

给定多个二维平面点和多个圆形查询，对于每个圆形查询，统计落在圆内（包括边界）的点的数量。

数学原理

判断点是否在圆内的数学公式：

[ (x_p - x_c)^2 + (y_p - y_c)^2 \leq r^2 ]

其中：

((x_c, y_c)) 是圆心坐标
(r) 是圆的半径
((x_p, y_p)) 是点的坐标

算法实现

class Solution {public int[] countPoints(int[][] points, int[][] queries) {int m = points.length, n = queries.length;int[] ans = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {int cx = queries[i][0], cy = queries[i][1], cr = queries[i][2];for (int j = 0; j < m; ++j) {int px = points[j][0], py = points[j][1];int dx = cx - px, dy = cy - py;if (dx * dx + dy * dy <= cr * cr) {++ans[i];}}}return ans;}
}