数学基础---刚体变换（旋转矩阵与平移矩阵）

在计算机视觉、机器人学、图形学等领域，刚体变换（即不改变物体形状和大小的变换）是描述物体运动或坐标转换的核心工具。旋转矩阵与平移矩阵作为刚体变换的基础组件，分别负责描述“旋转”与“平移”这两种基本运动，其理论严谨性和工程实用性贯穿多个学科。

一、刚体变换的本质与分类

刚体变换的核心是保持物体上任意两点的距离和夹角不变，仅改变物体的位置（平移）和朝向（旋转）。数学上，刚体变换可分解为：

1. 旋转（Rotation）：物体绕某一轴（二维中为点）转动，不改变原点到物体上点的距离；
2. 平移（Translation）：物体沿直线移动，所有点的位移量相同。

旋转是线性变换（可通过矩阵乘法实现），平移是非线性变换（通过向量加法实现）。二者的组合构成完整的刚体变换，需通过“齐次坐标”统一为矩阵运算。

二、旋转矩阵（Rotation Matrix）

旋转矩阵是描述旋转的正交矩阵，其核心性质决定了旋转的“刚体性”。

1. 定义与核心性质

旋转矩阵是一个n×n的正交矩阵（n=2时为二维旋转，n=3时为三维旋转），满足：

• 正交性：旋转矩阵$\mathbf{R}$的逆矩阵等于其转置矩阵，即${\mathbf{R}}^{-1}={\mathbf{R}}^T$；
• 行列式为1：$\det (\mathbf{R})=1$（保证旋转为“右手系”，无镜像翻转；若行列式为-1，则包含镜像，不属于纯旋转）；
• 保长度：对任意向量$\mathbf{v}$，旋转后长度不变，即$\Vert \mathbf{Rv}\Vert =\Vert \mathbf{v}\Vert$；
• 保夹角：对任意向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$，旋转后夹角不变，即${\mathbf{v}}_1^T{\mathbf{v}}_2=(\mathbf{R}{\mathbf{v}}_1{)}^T(\mathbf{R}{\mathbf{v}}_2)$。

2. 二维旋转矩阵

在二维平面中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$\theta$角的旋转矩阵为2×2矩阵：
$$\mathbf{R}(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

• 几何意义：
  旋转后点的坐标$(x^{\prime },y^{\prime })$满足：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\mathbf{R}(\theta )\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right]$$
  若$\theta$为负，则表示顺时针旋转。

3. 三维旋转矩阵

三维空间的旋转更复杂，需明确旋转轴（通常为x、y、z轴）。在右手坐标系中，绕坐标轴逆时针旋转$\theta$角的矩阵如下：

• 绕x轴旋转（y-z平面内转动）：
  $${\mathbf{R}}_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

• 绕y轴旋转（x-z平面内转动）：
  $${\mathbf{R}}_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

• 绕z轴旋转（x-y平面内转动）：
  $${\mathbf{R}}_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

4. 旋转的复合与参数化

三维旋转有3个自由度（需3个参数描述），但3×3旋转矩阵有9个元素，冗余度高。实际中常用更简洁的参数化方式，且需掌握旋转的复合规则：

• 复合旋转：旋转矩阵不满足交换律，若先绕x轴旋转${\theta }_1$，再绕z轴旋转${\theta }_2$，总旋转矩阵为$\mathbf{R}={\mathbf{R}}_z({\theta }_2)\cdot {\mathbf{R}}_x({\theta }_1)$（先旋转变换在右侧）。

• 参数化表示：

  • 欧拉角：将旋转分解为绕三个轴的三次转动（如“Z-Y-X”角），但存在“万向锁”问题（当中间轴旋转90°时，丢失一个自由度）；
  • 轴角：用旋转轴$\mathbf{u}$（单位向量）和旋转角$\theta$表示，通过罗德里格斯公式可转换为旋转矩阵；
  • 四元数：用4个参数表示旋转，无万向锁问题，插值平滑，是工程中（如无人机姿态）的常用形式，可通过归一化四元数$\mathbf{q}=(w,x,y,z)$转换为旋转矩阵：
    $$\mathbf{R}(\mathbf{q})=\left[\begin{array}{ccc}1-2y^2-2z^2& 2xy-2zw& 2xz+2yw\\ 2xy+2zw& 1-2x^2-2z^2& 2yz-2xw\\ 2xz-2yw& 2yz+2xw& 1-2x^2-2y^2\end{array}\right]$$

三、平移矩阵（Translation Vector）

平移是物体沿坐标轴的平行移动，数学上用向量表示（而非矩阵，因平移是加法运算）。

1. 定义与表示

• 二维平移：用2×1向量$\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$表示，$t_x$、$t_y$分别为x、y方向的位移量。点$(x,y)$平移后坐标为：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\end{array}\right]$$

• 三维平移：用3×1向量$\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\\ t_z\end{array}\right]$表示，点$(x,y,z)$平移后坐标为：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]+\mathbf{t}$$

2. 平移的复合

多次平移的复合是向量加法（满足交换律）：若先平移${\mathbf{t}}_1$，再平移${\mathbf{t}}_2$，总平移向量为$\mathbf{t}={\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2$。

四、齐次坐标与变换矩阵：统一旋转与平移

旋转是线性变换（矩阵乘法），平移是非线性变换（向量加法），无法直接用矩阵乘法统一。为解决这一问题，引入齐次坐标（增加一个维度），将平移“嵌入”矩阵，使刚体变换可表示为单一矩阵的乘法。

1. 二维齐次变换矩阵（3×3）

二维点的齐次坐标为$(x,y,1{)}^T$（最后一维为“尺度因子”，固定为1）。旋转+平移的复合变换矩阵为：
$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \mathbf{t}\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & t_x\\ \sin \theta & \cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 作用：齐次点$\mathbf{p}=(x,y,1{)}^T$经变换后为：
  $${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{Tp}=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta +t_x\\ x\sin \theta +y\cos \theta +t_y\\ 1\end{array}\right]$$
  忽略最后一维即得二维坐标。

2. 三维齐次变换矩阵（4×4）

三维点的齐次坐标为$(x,y,z,1{)}^T$，复合变换矩阵为：
$$\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \mathbf{t}\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 作用：齐次点$\mathbf{p}=(x,y,z,1{)}^T$变换后为：
  $${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{Tp}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{R}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\\ t_z\end{array}\right]\\ 1\end{array}\right]$$

3. 齐次变换矩阵的复合

多个刚体变换的复合等价于齐次变换矩阵的乘法（不满足交换律）。例如，先执行变换${\mathbf{T}}_1$（旋转${\mathbf{R}}_1$+平移${\mathbf{t}}_1$），再执行${\mathbf{T}}_2$（旋转${\mathbf{R}}_2$+平移${\mathbf{t}}_2$），总变换为：
$${\mathbf{T}}_{\text{总}}={\mathbf{T}}_2\cdot {\mathbf{T}}_1=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_2{\mathbf{R}}_1& {\mathbf{R}}_2{\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$

五、工程应用与注意事项

旋转矩阵与平移矩阵的应用贯穿多个领域，其细节处理直接影响系统精度。

1. 相机位姿估计（外参矩阵）

在计算机视觉中，相机外参（Extrinsics）描述相机坐标系与世界坐标系的关系，即：
$${\mathbf{P}}_{\text{相机}}=\mathbf{R}\cdot {\mathbf{P}}_{\text{世界}}+\mathbf{t}$$
其中$\mathbf{R}$为3×3旋转矩阵，$\mathbf{t}$为3×1平移向量。齐次形式为${\mathbf{P}}_{\text{相机,齐次}}=\mathbf{T}\cdot {\mathbf{P}}_{\text{世界,齐次}}$，$\mathbf{T}$为4×4外参矩阵。

2. 机器人运动学

机器人末端执行器的位姿（位置+姿态）通过齐次变换矩阵描述。例如，机械臂各关节的变换矩阵相乘，可得到末端相对于基座的总变换，用于运动规划。

3. 关键注意事项

• 旋转方向与坐标系：需明确旋转是“右手系”还是“左手系”，以及旋转角的正负定义（通常逆时针为正）；
• 正交性验证：数值计算中，旋转矩阵可能因误差偏离正交性，需通过SVD分解进行正交化（如$\mathbf{R}=\mathbf{U}{\mathbf{V}}^T$，其中$\mathbf{U},\mathbf{V}$为SVD分解结果）；
• 变换顺序：旋转与平移的复合顺序不可交换，“先旋转后平移”与“先平移后旋转”结果不同（除非平移量为零）；
• 参数化选择：欧拉角易实现但有万向锁，四元数适合插值，轴角适合直观理解，需根据场景选择。

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旋转矩阵与平移矩阵是描述刚体变换的数学基础：旋转矩阵通过正交性保证“保距保角”，平移向量通过加法描述位置偏移，二者通过齐次坐标统一为变换矩阵，实现高效的复合运算。从理论上的性质推导到工程中的位姿估计、机器人控制，其应用无处不在。掌握其定义、性质、参数化及复合规则，是理解和解决刚体运动问题的核心前提。