Ax=b超静定方程组，已知初始解x0情况下得快速解法
在求解超定线性方程组（即方程个数多于未知数个数，通常无精确解）A x = b 时，若已知一个初始解 x₀，可以利用该信息设计更高效的求解策略。目标通常是寻找最小二乘解：
minₓ ‖A x − b‖²
以下是几种快速且高效的求解方法，尤其在已有初始解 x₀ 的情况下可以加速收敛：
1. 迭代法 + 初始解加速（推荐用于大型稀疏系统）
当矩阵 A 规模很大且稀疏时，直接法（如 QR 分解）计算代价高，应使用迭代法，并以 x₀ 作为初始猜测，显著加快收敛。
（1）共轭梯度法（CG）应用于法方程
最小二乘问题等价于求解正规方程：
(AᵀA) x = Aᵀb
由于 AᵀA 对称半正定，可使用共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG），以 x₀ 为初值迭代：
- 初始化：x = x₀
- 迭代直到收敛：
- r = Aᵀb − AᵀA x
- （后续标准 CG 步骤）
优势：利用 x₀ 接近真解时，收敛极快（可能几步内达到精度）
注意：AᵀA 条件数为 cond(A)²，可能病态，建议预处理
（2）LSQR 算法（推荐首选）
LSQR 是专门用于求解最小二乘问题的 Krylov 子空间迭代法，等价于对 A 应用 Golub-Kahan 双对角化。
- 支持直接输入稀疏矩阵 A 和 b
- 可设置初始解 x₀
- 数值稳定，自动处理超定/欠定系统
调用方式（以 Python scipy 为例）：
Python
from scipy.sparse.linalg import lsqr
result = lsqr(A, b, x0=x0, atol=1e-6, btol=1e-6)
x = result[0]优势：比 CG on normal equations 更稳定，适合大规模问题
利用 x₀ 可大幅减少迭代次数
2. 增量更新法（适用于 A 或 b 微小变化）
若当前问题是基于前一个问题的小幅修改（如 A 或 b 有小扰动），而 x₀ 是前一问题的解，则可用增量最小二乘或秩一更新技巧。
例：当 A 变为 A + ΔA，b 变为 b + Δb
若变化小，可将 x = x₀ + δx 代入，线性化求解 δx：
min‖A (x₀ + δx) − b‖² ≈ min‖(A x₀ − b) + A δx‖²
令 r₀ = A x₀ − b，则转化为：
min‖A δx + r₀‖²
这又是一个最小二乘问题，但目标是求修正量 δx。若 r₀ 小，则 δx 小，可用迭代法快速求解。
3. 牛顿法 / 高斯-牛顿法（用于非线性最小二乘推广）
虽然 Ax=b 是线性问题，但若后续扩展为非线性最小二乘，x₀ 作为良好初值至关重要。在线性情况下，牛顿法一步收敛：
- 目标函数：f(x) = ½‖A x − b‖²
- 梯度：∇f = Aᵀ(A x − b)
- Hessian：H = AᵀA
牛顿步： δx = −H⁻¹∇f = −(AᵀA)⁻¹Aᵀ(A x₀ − b)
更新： x = x₀ + δx
若 x₀ 已很接近解，δx 很小，可用于精化。
4. 预处理 + 迭代法（Preconditioning）
为加速迭代法收敛，可设计预处理器 M ≈ AᵀA，使得 M⁻¹(AᵀA) 条件数更小。
- 使用 x₀ 有助于判断当前残差方向
- 预处理子可基于 A 的结构（如不完全 Cholesky 分解）
例如：使用 IC-preconditioned CG 求解 AᵀA x = Aᵀb，初值 x = x₀
总结：快速解法选择建议
| 场景 | 推荐方法 | 是否利用 x₀ |
|---|---|---|
| 大规模稀疏 A | LSQR 或 LSMR（带 x₀ 初始化） | ✅ 强烈推荐 |
| 小到中等规模 | QR 分解（x₀ 用于验证或精化） | ⚠️ 直接法不依赖初值 |
| A 或 b 有微小更新 | 增量最小二乘，求 δx | ✅ 关键 |
| 需要高精度精化 | 牛顿步或迭代精化 | ✅ 有效 |
| 条件数高 | 预处理 LSQR / CG | ✅ 初值加速收敛 |
实用技巧
- 若 ‖A x₀ − b‖ 已很小，可直接作为近似解
- 用 x₀ 作为 warm start（热启动）可减少 50% 以上迭代次数
- 在实时优化、滤波（如卡尔曼滤波）、机器学习中，x₀ 常为上一时刻解，是加速关键
如有具体矩阵结构（如稀疏、对称、块状等）或应用场景（如SLAM、回归、信号处理），可进一步定制快速算法。