UVa 1326 Jurassic Remains

题目描述

西伯利亚的古生物学家发现了一批侏罗纪时期的恐龙骨骼碎片。由于骨骼太大，无法整体运输，他们决定将骨骼拆分成单独的骨头，并在关节处用标签标记（标签为大写字母 A - Z），以便在博物馆重新组装。后来，他们又发现了一些新的骨头，并一并送往博物馆。

问题是：

• 标签不唯一，多个关节对可能使用相同字母标记
• 新骨头上的标签不一定需要与其他骨头连接
• 每块骨头上每个字母最多出现一次

任务：选择最多的骨头，使得在选出的骨头集合中，每个标签要么不出现，要么出现偶数次（这样才能让所有关节都配对连接）。

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题目分析

关键条件转化

我们需要选出一个骨头子集，满足：

• 对于任意标签字母，它在所有选中骨头中出现的总次数为偶数
• 子集大小最大化

关键观察：如果把每个骨头看作一个集合（元素是标签字母），那么条件等价于：所有选中骨头的对称差（异或）为空集。

数学模型

• 将 $26$ 个字母看作位掩码的 $26$ 位（A 对应第 $0$ 位，Z 对应第 $25$ 位）
• 每块骨头转换为一个整数（掩码），某位为 $1$ 表示包含对应字母
• 问题转化为：从 $N$ 个整数中选出一个子集，使得这些数的异或和为 $0$，且子集大小最大

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解题思路

直接暴力法（可行但较慢）

枚举所有 $2^N$ 个子集，检查异或和是否为 $0$，记录最大子集。
当 $N\le 24$ 时，$2^{24}\approx 1.6\times 10^7$，在 $\text{OJ}$ 上可能勉强通过。

折半搜索（优化方法）

将骨头分成两半：

• 前半部分：前 $\frac{N}{2}$ 个骨头
• 后半部分：剩余骨头

步骤：

1. 枚举前半部分所有子集，记录每个异或值对应的最大子集大小和子集掩码
2. 枚举后半部分所有子集，对于每个异或值，在前半部分查找相同的异或值
   • 如果找到，则合并子集，总大小 = 前半子集大小 + 后半子集大小
   • 更新最大子集
3. 特别处理前半或后半自身异或和为 $0$ 的情况

复杂度：$O(N\times 2^{N/2})$，对于 $N=24$ 只需约 $24\times 2^{12}\approx 10^5$ 次操作，比暴力快约 $2000$ 倍。

参考代码

// Jurassic Remains
// UVa ID: 1326
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-03
// UVa Run Time: 0.010s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int N;while (cin >> N) {vector<int> bones(N);for (int i = 0; i < N; i++) {string s;cin >> s;int mask = 0;for (char c : s) {mask |= (1 << (c - 'A'));}bones[i] = mask;}int maxSize = 0;int bestMask = 0;// 折半搜索int half = N / 2;// 存储前半部分异或值 -> (size, mask)map<int, pair<int, int>> firstHalf;// 枚举前半部分for (int mask = 0; mask < (1 << half); mask++) {int xorSum = 0;int size = 0;for (int i = 0; i < half; i++) {if (mask & (1 << i)) {xorSum ^= bones[i];size++;}}// 如果当前异或值没出现过，或者出现但size更小，则更新if (firstHalf.find(xorSum) == firstHalf.end() || firstHalf[xorSum].first < size) {firstHalf[xorSum] = make_pair(size, mask);}// 如果前半部分自己就能满足条件if (xorSum == 0 && size > maxSize) {maxSize = size;bestMask = mask;}}// 枚举后半部分int secondHalf = N - half;for (int mask = 0; mask < (1 << secondHalf); mask++) {int xorSum = 0;int size = 0;for (int i = 0; i < secondHalf; i++) {if (mask & (1 << i)) {xorSum ^= bones[half + i];size++;}}// 查找前半部分是否有相同的异或值auto it = firstHalf.find(xorSum);if (it != firstHalf.end()) {int totalSize = it->second.first + size;if (totalSize > maxSize) {maxSize = totalSize;// 合并前后两部分的掩码bestMask = (it->second.second) | (mask << half);}}// 如果后半部分自己就能满足条件if (xorSum == 0 && size > maxSize) {maxSize = size;bestMask = mask << half;}}// 输出结果cout << maxSize << endl;if (maxSize > 0) {bool first = true;for (int i = 0; i < N; i++) {if (bestMask & (1 << i)) {if (!first) cout << " ";cout << (i + 1);first = false;}}cout << endl;} else {cout << endl;}}return 0;
}