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题目 3217 ⭐成绩统计⭐【滑动窗口 + 二分搜索】蓝桥杯2024年第十五届省赛

news 来源：原创 2025/6/8 3:09:34

小蓝的班上有 $n$ 个人，一次考试之后小蓝想统计同学们的成绩，第 i 名同学的成绩为 $a_i$ 。当小蓝统计完前 $x$ 名同学的成绩后，他可以从 $1 \sim x$ 中选出任意 $k$ 名同学的成绩，计算出这 $k$ 个成绩的方差。小蓝至少要检查多少个人的成绩，才有可能选出 $k$ 名同学，他们的方差小于一个给定的值 $T$ ？

提示： $k$ 个数 $v_1, v_2, \cdots, v_k$ 的方差 $σ^2$ 定义为： $σ^2=∑ k_i=1(v_i−v')/k$ ，其中 $v^{'}$ 表示 $v$ 的平均值， $v'=∑k_{i=1} \frac{v_i}{k}$ 。

关键点

问题目标：找到最小的 $x$ ，使得在前 $x$ 名同学的成绩中，存在一个大小为 $k$ 的子集，其方差小于 $T$ 。
方差的含义：
- 方差越小，说明数据越集中。
- 如果选择的 $k$ 个数非常接近，方差会很小。
解决思路：
- 对前 $x$ 名同学的成绩排序。
- 使用 滑动窗口 检查所有连续的 $k$ 个数的方差是否小于 $T$ 。
- 通过 二分搜索 找到最小的 $x$ 。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

// 计算 k 个数的方差
double calculateVariance(const vector<int>& nums, int start, int k) {
    double sum = 0;
    for (int i = start; i < start + k; i++) {
        sum += nums[i];
    }
    double mean = sum / k; // 平均值
    double variance = 0;
    for (int i = start; i < start + k; i++) {
        variance += (nums[i] - mean) * (nums[i] - mean);
    }
    return variance / k;
}

// 检查前 x 个数中是否存在 k 个数的方差小于 T
bool check(const vector<int>& a, int x, int k, double T) {
    vector<int> subset(a.begin(), a.begin() + x); // 取前 x 个数
    sort(subset.begin(), subset.end()); // 排序
    for (int i = 0; i <= x - k; i++) { // 滑动窗口
        double variance = calculateVariance(subset, i, k);
        if (variance < T) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

// 二分搜索找到最小的 x
int findMinX(const vector<int>& a, int k, double T) {
    int n = a.size();
    int left = k, right = n; // x 的最小值是 k，最大值是 n
    int result = n + 1; // 初始化为一个不可能的值
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(a, mid, k, T)) {
            result = mid; // 更新结果
            right = mid - 1; // 尝试更小的 x
        } else {
            left = mid + 1; // 尝试更大的 x
        }
    }
    return result <= n ? result : -1; // 如果找到返回 x，否则返回 -1
}