当前位置：首页 > news >正文

UVa 1398 Meteor

news 2025/11/3 17:00:01

题目描述

著名的韩国互联网公司 $NHN\texttt{NHN}$ 提供了一项基于互联网的照片服务，用户可以通过控制 $NHN\texttt{NHN}$ 拥有的高性能望远镜直接拍摄太空中的天文现象。几天后，将出现一场被认为是本世纪最大的流星雨。 $NHN\texttt{NHN}$ 宣布举办一场摄影比赛，奖励使用 $NHN\texttt{NHN}$ 照片服务拍摄到包含最多流星照片的用户。为了这次比赛， $NHN\texttt{NHN}$ 提前在其网页上提供了流星的轨迹信息。获胜的最佳方法是计算望远镜能够捕捉到最多流星的时刻。

你有 $n$ 颗流星，每颗都做匀速直线运动。流星 $m_i$ 随时间 $t$ 沿轨迹 $pi+t×vip_i + t \times v_i$ 运动，其中 $t$ 是非负实数值， $p_i$ 是 $m_i$ 的起点， $v_i$ 是 $m_i$ 的速度。点 $p_i = (x_i, y_i)$ 在 $(X, Y)$ 平面中用 $X$ 坐标 $x_i$ 和 $Y$ 坐标 $y_i$ 表示，速度 $v_i = (a_i, b_i)$ 是一个非零向量，在 $(X, Y)$ 平面中有两个分量 $a_i$ 和 $b_i$ 。

望远镜有一个矩形框架，左下角为 $(0, 0)$ ，右上角为 $(w, h)$ 。当流星位于框架内部（不在边界上）时，称该流星在望远镜框架中。你需要计算望远镜框架中流星数量最多的某个时间，并输出该最大流星数量。

输入格式

输入包含 $T$ 个测试用例。第一行给出测试用例的数量 $T$ 。每个测试用例的第一行包含两个整数 $w$ 和 $h$ （ $\leq w, h \leq 100,000$ ），表示望远镜框架的宽度和高度，用一个空格分隔。第二行包含一个整数 $n$ ，表示输入点（流星）的数量， $\leq n \leq 100,000$ 。接下来的 $n$ 行每行包含四个整数 $x_i$ , $y_i$ , $a_i$ , $b_i$ ； $x_i, y_i)$ 是起点 $p_i$ ， $a_i, b_i)$ 是第 $i$ 颗流星的非零速度向量 $v_i$ ； $x_i$ 和 $y_i$ 是介于 $- 200, 000$ 和 $200, 000$ 之间的整数值， $a_i$ 和 $b_i$ 是介于 $- 10$ 和 $10$ 之间的整数值。注意 $a_i$ 和 $b_i$ 中至少有一个不为零。这四个值用一个空格分隔。假设所有起点 $p_i$ 都是不同的。

输出格式

对于每个测试用例，输出望远镜框架中在某个时刻能够出现的流星的最大数量。

解题思路

问题分析

我们需要找到一个非负时间 $t$ ，使得在矩形 $(0, 0)$ 到 $(w, h)$ 内部（不含边界）的流星数量最多。每颗流星做匀速直线运动，运动方程为：

$(x_i, y_i) + t \cdot (a_i, b_i), \quad t \ge 0$

关键思路

时间区间计算：对于每颗流星，我们可以计算出它进入矩形内部的时间区间 $[tstart,tend)[t_{\text{start}}, t_{\text{end}})$ 。如果流星从不进入矩形内部，则该区间为空。
边界条件处理：由于边界不算内部，我们需要使用严格不等式来处理进入和离开的时刻。
扫描线算法：将所有进入事件 $(t, + 1)$ 和离开事件 $(t, - 1)$ 按时间排序，然后扫描这些事件，维护当前在矩形内部的流星数量，并记录最大值。

详细解题步骤

1. 计算单颗流星在矩形内部的时间区间

对于每颗流星，我们需要分别计算在 $X$ 方向和 $Y$ 方向上的时间区间，然后取交集。

$X$ 方向的时间区间：

如果 $a_i = 0$ ：
- 如果 $xi≤0x_i \le 0$ 或 $xi≥wx_i \ge w$ ：永远不在内部，区间为空
- 否则：始终在内部，区间为 $\infty)$
如果 $a_i > 0$ ：
- 进入内部时间：当 $xi+t⋅ai>0x_i + t \cdot a_i > 0$ ，即 $\frac{-x_i}{a_i}$
- 离开内部时间：当 $xi+t⋅ai<wx_i + t \cdot a_i < w$ ，即 $\frac{w - x_i}{a_i}$
- 因此区间为： $(−xiai,w−xiai)\left( \frac{-x_i}{a_i}, \frac{w - x_i}{a_i} \right)$
如果 $a_i < 0$ ：
- 进入内部时间：当 $xi+t⋅ai<wx_i + t \cdot a_i < w$ ，即 $\frac{w - x_i}{a_i}$ （注意 $a_i < 0$ ）
- 离开内部时间：当 $xi+t⋅ai>0x_i + t \cdot a_i > 0$ ，即 $\frac{-x_i}{a_i}$
- 因此区间为： $(w−xiai,−xiai)\left( \frac{w - x_i}{a_i}, \frac{-x_i}{a_i} \right)$

$Y$ 方向的时间区间（同理）：

如果 $b_i = 0$ ：
- 如果 $yi≤0y_i \le 0$ 或 $yi≥hy_i \ge h$ ：永远不在内部，区间为空
- 否则：始终在内部，区间为 $\infty)$
如果 $b_i > 0$ ：
- 区间为： $(−yibi,h−yibi)\left( \frac{-y_i}{b_i}, \frac{h - y_i}{b_i} \right)$
如果 $b_i < 0$ ：
- 区间为： $(h−yibi,−yibi)\left( \frac{h - y_i}{b_i}, \frac{-y_i}{b_i} \right)$

2. 处理时间区间

对于每颗流星：

计算 $X$ 方向区间 $t_{x1}, t_{x2})$
计算 $Y$ 方向区间 $t_{y1}, t_{y2})$
取交集得到总区间 $max(t_{x1}, t_{y1}), \min(t_{x2}, t_{y2}))$
如果开始时间小于 $0$ ，则设为 $0$ （因为 $\ge 0$ ）
如果区间有效（开始时间小于结束时间），则创建两个事件：
- 进入事件： $(tstart,+1)(t_{\text{start}}, +1)$
- 离开事件： $(tend,−1)(t_{\text{end}}, -1)$

3. 扫描线算法

将所有事件按时间排序
时间相同时，离开事件优先处理（避免多计数）
扫描事件，维护当前流星数量，记录最大值

精度处理

由于输入是整数，使用 $double\texttt{double}$ 类型计算足够精确。使用一个小的 $ϵ\epsilon$ 值（如 $10^{-9}$ ）来处理浮点精度问题。

参考代码

// Meteor
// UVa ID: 1398
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-01
// UVa Run Time: 0.030s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const double EPS = 1e-9; // 精度控制// 事件结构体
struct Event {double time; // 事件发生时间int type;    // 事件类型：+1 表示进入，-1 表示离开Event(double t, int tp) : time(t), type(tp) {}// 排序规则：时间相同则离开事件优先bool operator<(const Event& other) const {if (fabs(time - other.time) < EPS) return type < other.type;return time < other.time;}
};int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int testCaseCount;cin >> testCaseCount;while (testCaseCount--) {int width, height;cin >> width >> height;int meteorCount;cin >> meteorCount;vector<Event> events;for (int i = 0; i < meteorCount; ++i) {int startX, startY, velX, velY;cin >> startX >> startY >> velX >> velY;// 计算 X 方向的时间区间double xStartTime, xEndTime;if (velX > 0) {xStartTime = max(0.0, (-startX + EPS) / velX);xEndTime = (width - startX - EPS) / velX;} else if (velX < 0) {xStartTime = max(0.0, (width - startX + EPS) / velX);xEndTime = (-startX - EPS) / velX;} else { // velX == 0if (startX > 0 && startX < width) {xStartTime = 0.0;xEndTime = 1e20; // 表示无穷大} else {xStartTime = 1.0;xEndTime = 0.0; // 空区间}}// 计算 Y 方向的时间区间double yStartTime, yEndTime;if (velY > 0) {yStartTime = max(0.0, (-startY + EPS) / velY);yEndTime = (height - startY - EPS) / velY;} else if (velY < 0) {yStartTime = max(0.0, (height - startY + EPS) / velY);yEndTime = (-startY - EPS) / velY;} else { // velY == 0if (startY > 0 && startY < height) {yStartTime = 0.0;yEndTime = 1e20; // 表示无穷大} else {yStartTime = 1.0;yEndTime = 0.0; // 空区间}}// 取 X 和 Y 方向的交集double startTime = max(xStartTime, yStartTime);double endTime = min(xEndTime, yEndTime);// 如果区间有效，创建事件if (startTime < endTime - EPS) {events.emplace_back(startTime, 1);   // 进入事件events.emplace_back(endTime, -1);    // 离开事件}}// 按时间排序事件sort(events.begin(), events.end());int currentCount = 0;int maxCount = 0;// 扫描事件for (const auto& event : events) {currentCount += event.type;if (currentCount > maxCount) {maxCount = currentCount;}}cout << maxCount << "\n";}return 0;
}