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见：P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 - 洛谷

题目描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有 16 头母猪，如果建了 3 个猪圈，剩下 1 头猪就没有地方安家了。如果建造了 5 个猪圈，但是仍然有 1 头猪没有地方去，然后如果建造了 7 个猪圈，还有 2 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 n —— 建立猪圈的次数，接下来 n 行，每行两个整数 ai​,bi​，表示建立了 ai​ 个猪圈，有 bi​ 头猪没有去处。你可以假定 a1​∼an​ 互质。

输出格式

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

输入输出样例

in：
3
3 1
5 1
7 2
out：
16

说明/提示

1≤n≤10，0≤bi​<ai​≤100000，1≤∏ai​≤1018

中国剩余定理（CRT）

不难看出，

题面可以翻译为：

Q：求解以下线性同余方程组：

⎩⎨⎧​x≡r1​(modm1​)x≡r2​(modm2​)...x≡rn​(modmn​)​

其中模数 m1​.m2​,...

mn​ 为 两两互质 的整数，

求 x 的最小非负整数解。

• 利用中国剩余定理求解，步骤如下：

  (1) 计算所有模数的积 M=∏i=1n​mi​；

  (2) 计算 ci​=mi​M​；

  (3) 计算 ci​ 在模 mi​ 意义下的乘法逆元 ci−1​；

  (4) 计算解 x=∑i=1n​ri​ci​ci−1​(modM).

• 中国剩余定理的证明：

  • 首先证明 x=∑i=1n​ri​ci​ci−1​ 对于每一个 j 都有 x≡rj​(modmj​).

    • 若 i=j ，则 cj​ 中包含因数 ci​，
      ∴cj​≡0(modmj​),
      ∴rj​cj​cj−1​≡0(modmj​).

    • 若 i=j ，则 cj​ 中不包含因数 ci​，
      ∴cj​≡0(modmi​),
      ∵cj​cj−1​≡1(modmj​).
      ∴rj​cj​cj−1​≡rj​(modmj​).

    则对于 j ，总有：

    x​≡i=1∑n​ri​ci​ci−1​(modmj​)≡rj​cj​cj−1​(modmj​)≡rj​(modmj​)​

  • 其次，证明 x=∑i=1n​ri​ci​ci−1​ (mod M) 对于每一个 j 都有 x≡rj​ (mod mj​).

    对于每一个 mj​ 来说，mod M 相当于减去 mj​ 的若干倍，

  • 不会影响余数 rj​ 的结果.

  证毕.

• 中国剩余定理的算法实现：

  对于 M 和 ci​，可以在两次循环时分别计算；

  对于 ci−1​，

• 可以转化为利用 扩展欧几里得算法 求解：

  • 给定两个互质整数 a,m， 对于 ax≡1 (mod m).，求 a 的乘法逆元 x (0<x<m).

    把同余方程转化为不定方程.
    由 ax≡1 (mod m)
    得 ax=m×(−y)+1 （设为 −y 便于移项后计算）
    得 ax+my=1.
    转化为用 扩欧求解不定方程 求 ax+my=1=gcd(a,m) 方程中 x 的解.

    为确保得到的答案为 最小正整数 ，最后答案为 (x%m+m)%m.
    e.g. x=−7,m=5,ans=(−7%5+5)%5=3;
    x=7,m=5,ans=(7%5+5)%5=2.

作者提醒

我本来是用long long做的

但是有一个样例错了

后来发现数据量太大了

long long爆掉了

只能用__int128 才能通过。

核心代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128  ll;
const int q=3e6+5;
long long m[q],a[q];
ll e(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}ll d=e(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return d;
}int main() {long long n;cin>>n;ll g=1;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>m[i]>>a[i];g*=m[i];}long long t=0;for(int i=1;i<=n;i++){ll x,y;ll mi=g/m[i];e(mi,m[i],x,y);t=(t+a[i]*mi%g*x)%g;}t=(t+g)%g;cout<<t;return 0;
}

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