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「用Python来学微积分」21. 玩转高阶导数

news 2025/10/31 11:30:38

文章目录

- 一、高阶导数的物理意义：从速度到加速度
- - 手动求解示例：匀加速直线运动
  - Python实现与可视化
- 二、基础高阶导数计算
- - 幂函数的高阶导数
  - Python验证
  - 指数函数的高阶导数
  - Python实现
- 三、复杂函数的高阶导数实战
- - 复合函数求导：链式法则的应用
  - Python验证
  - 三角函数的高阶导数
  - Python验证循环规律
- 四、参数方程的高阶导数
- - 参数方程求导公式
  - 手动求解示例：椭圆参数方程
  - Python实现
  - 摆线运动的高阶导数
  - Python实现与验证
- 五、隐函数的高阶导数
- - 手动求解示例： $x^2 + y^2 - xy = 1$
  - Python实现
- 六、总结与技巧
- - 高阶导数的核心要点
  - Python计算高阶导数的优势
  - 学习建议

一、高阶导数的物理意义：从速度到加速度

高阶导数的概念在物理学中有着直观的体现。当我们描述物体运动时，位移的一阶导数表示瞬时速度，二阶导数则表示加速度。这种变化率的层级关系揭示了自然界中运动的本质规律。

手动求解示例：匀加速直线运动

考虑一个质点做匀加速直线运动，其位移函数为： $s(t) = 2t^2 + 3t + 1$

手动求解过程：

一阶导数（速度）： $\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + 3t + 1) = 4t + 3$
二阶导数（加速度）： $\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 3) = 4$

这表明该质点做匀加速直线运动，加速度恒为4个单位。

Python实现与可视化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import symbols, diff# 符号计算
t = symbols('t')
s = 2*t**2 + 3*t + 1
velocity = diff(s, t)
acceleration = diff(velocity, t)print(f"位移函数: s(t) = {s}")
print(f"速度函数: v(t) = {velocity}")
print(f"加速度函数: a(t) = {acceleration}")# 数值可视化
t_values = np.linspace(0, 5, 100)
s_values = 2*t_values**2 + 3*t_values + 1
v_values = 4*t_values + 3
a_values = np.full_like(t_values, 4)  # 加速度恒为4fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))ax1.plot(t_values, s_values, 'b-', linewidth=2)
ax1.set_title('位移-时间关系')
ax1.set_xlabel('时间 t')
ax1.set_ylabel('位移 s(t)')
ax1.grid(True)ax2.plot(t_values, v_values, 'r-', linewidth=2)
ax2.set_title('速度-时间关系')
ax2.set_xlabel('时间 t')
ax2.set_ylabel('速度 v(t)')
ax2.grid(True)ax3.plot(t_values, a_values, 'g-', linewidth=2)
ax3.set_title('加速度-时间关系')
ax3.set_xlabel('时间 t')
ax3.set_ylabel('加速度 a(t)')
ax3.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

二、基础高阶导数计算

幂函数的高阶导数

手动求解示例： $y = x^5$

手动求解过程：

一阶导数： $dydx=5x4\frac{dy}{dx} = 5x^4$
二阶导数： $d2ydx2=20x3\frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3$
三阶导数： $d3ydx3=60x2\frac{d^3y}{dx^3} = 60x^2$
n阶导数模式： $y(n)=5!(5−n)!x5−ny^{(n)} = \frac{5!}{(5-n)!}x^{5-n}$ （当n ≤ 5时）

Python验证

from sympy import symbols, diff, factorialx = symbols('x')
y = x**5print("幂函数的高阶导数:")
for n in range(1, 7):derivative = diff(y, x, n)print(f"y的{n}阶导数: {derivative}")

指数函数的高阶导数

手动求解示例： $y = e^{2x}$

手动求解过程：

一阶导数： $dydx=2e2x\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$
二阶导数： $d2ydx2=4e2x\frac{d^2y}{dx^2} = 4e^{2x}$
三阶导数： $d3ydx3=8e2x\frac{d^3y}{dx^3} = 8e^{2x}$
n阶导数通式： $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

Python实现

from sympy import exp, diff, symbolsx = symbols('x')
y_exp = exp(2*x)print("指数函数的高阶导数:")
for n in range(1, 5):deriv = diff(y_exp, x, n)print(f"y的{n}阶导数: {deriv}")

执行结果:

三、复杂函数的高阶导数实战

复合函数求导：链式法则的应用

手动求解示例： $y = \ln(1 + x^2)$

手动求解过程：

一阶导数： $dydx=11+x2⋅2x=2x1+x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}$
二阶导数（使用商法则）： $d2ydx2=2(1+x2)−2x⋅2x(1+x2)2=2+2x2−4x2(1+x2)2=2−2x2(1+x2)2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2}$

Python验证

from sympy import log, sin, cos, sqrt, atanfunctions = [log(1 + x**2),      # y = ln(1+x²)x**2 * log(x)       # y = x² * ln(x)
]print("复杂函数的高阶导数:")
for i, func in enumerate(functions, 1):print(f"\n函数 {i}: y = {func}")first_deriv = diff(func, x)second_deriv = diff(func, x, 2)print(f"一阶导数: {first_deriv}")print(f"二阶导数: {second_deriv}")print(f"化简后的二阶导数: {second_deriv.simplify()}")

执行结果:

三角函数的高阶导数

手动求解示例： $\sin(x)$

手动求解过程：

一阶导数： $\cos(x)$
二阶导数： $-\sin(x)$
三阶导数： $-\cos(x)$
四阶导数： $y^{(4)} = \sin(x)$
规律：每4阶循环一次

Python验证循环规律

y_sin = sin(x)print("正弦函数的高阶导数规律:")
for n in range(1, 9):derivative = diff(y_sin, x, n)print(f"sin⁽{n}⁾(x) = {derivative}")# 验证循环规律
print("\n验证循环规律:")
for n in range(0, 9, 4):derivative_n = diff(y_sin, x, n)derivative_n_plus_4 = diff(y_sin, x, n+4)print(f"sin⁽{n}⁾(x) = sin⁽{n+4}⁾(x): {derivative_n.equals(derivative_n_plus_4)}")

运行结果:

四、参数方程的高阶导数

参数方程求导是高阶导数应用中的重要内容，特别在描述曲线运动和几何形状时非常有用。

参数方程求导公式

对于参数方程： $x = f (t), y = g (t)$

一阶导数： $dydx=dydtdxdt\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
二阶导数： $d2ydx2=ddt(dydx)dxdt\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$

手动求解示例：椭圆参数方程

给定参数方程： $a\cos(t), y = b\sin(t)$

手动求解过程：

一阶导数： $dxdt=−asin⁡(t),dydt=bcos⁡(t)\frac{dx}{dt} = -a\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = b\cos(t)$ $dydx=bcos⁡(t)−asin⁡(t)=−bacot⁡(t)\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos(t)}{-a\sin(t)} = -\frac{b}{a}\cot(t)$
二阶导数： $ddt(dydx)=ddt(−bacot⁡(t))=bacsc⁡2(t)\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{a}\cot(t)\right) = \frac{b}{a}\csc^2(t)$ $d2ydx2=bacsc⁡2(t)−asin⁡(t)=−ba2csc⁡3(t)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2(t)}{-a\sin(t)} = -\frac{b}{a^2}\csc^3(t)$

Python实现

from sympy import symbols, diff, sin, cos, cot, csct, a, b = symbols('t a b')
x_ellipse = a * cos(t)
y_ellipse = b * sin(t)# 一阶导数
dx_dt = diff(x_ellipse, t)
dy_dt = diff(y_ellipse, t)
dy_dx = dy_dt / dx_dt# 二阶导数
d2y_dx2 = diff(dy_dx, t) / dx_dtprint("椭圆参数方程的高阶导数:")
print(f"x = {x_ellipse}, y = {y_ellipse}")
print(f"一阶导数 dy/dx = {dy_dx.simplify()}")
print(f"二阶导数 d²y/dx² = {d2y_dx2.simplify()}")

运行结果:

摆线运动的高阶导数

手动求解示例： 摆线方程 $\sin t), y = a(1 - \cos t)$

手动求解过程：

一阶导数： $dxdt=a(1−cos⁡t),dydt=asin⁡t\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t$ $dydx=asin⁡ta(1−cos⁡t)=sin⁡t1−cos⁡t\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

利用三角恒等式化简： $sin⁡t1−cos⁡t=cot⁡(t2)\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\left(\frac{t}{2}\right)$
二阶导数： $ddt(dydx)=ddt(cot⁡(t2))=−12csc⁡2(t2)\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\cot\left(\frac{t}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{t}{2}\right)$ $d2ydx2=−12csc⁡2(t2)a(1−cos⁡t)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{t}{2}\right)}{a(1 - \cos t)}$

利用三角恒等式 $1 - \cos t = 2 \sin^2(t/2)$ 和 $csc⁡(t/2)=1/sin⁡(t/2)\csc(t/2) = 1/\sin(t/2)$ 进行化简： $2sin⁡2(t/2)=1−cos⁡t)\begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{ -\frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{t}{2}\right) }{ a \cdot 2 \sin^2(t/2) } \\ &= \frac{ -\frac{1}{2}\csc^2\left(\frac{t}{2}\right) }{ 2a \sin^2(t/2) } \\ &= \frac{ -1 }{ 4a \sin^2(t/2) } \cdot \csc^2(t/2) \quad \text{(将常数部分合并)} \\ &= \frac{ -1 }{ 4a \sin^4(t/2) } \quad \text{(因为 $\csc^2(t/2) = 1/\sin^2(t/2)$)} \\ &= \frac{ -1 }{ a (2\sin^2(t/2))^2 } \quad \text{(将分母写成平方形式)} \\ &= \frac{ -1 }{ a (1 - \cos t)^2 } \quad \text{(因为 $2\sin^2(t/2) = 1 - \cos t$)} \end{align*}$

Python实现与验证

# 摆线参数方程
x_cycloid = a * (t - sin(t))
y_cycloid = a * (1 - cos(t))# 求导计算
dx_dt_cycloid = diff(x_cycloid, t)
dy_dt_cycloid = diff(y_cycloid, t)
dy_dx_cycloid = dy_dt_cycloid / dx_dt_cycloid# 二阶导数
d2y_dx2_cycloid = diff(dy_dx_cycloid, t) / dx_dt_cycloidprint("摆线方程的高阶导数:")
print(f"x = {x_cycloid}")
print(f"y = {y_cycloid}")
print(f"一阶导数: {dy_dx_cycloid.simplify()}")
print(f"二阶导数: {d2y_dx2_cycloid.simplify()}")

运行结果:

五、隐函数的高阶导数

隐函数求导法用于处理无法显式表示为y=f(x)的函数关系。

手动求解示例： $x^2 + y^2 - xy = 1$

手动求解过程：

一阶导数（两边对x求导）： $2y\frac{dy}{dx} - (y + x\frac{dy}{dx}) = 0$ $x)\frac{dy}{dx} = y - 2x$ $dydx=y−2x2y−x\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$
二阶导数：对一阶导数两边再对x求导： $d2ydx2=[(y′−2)(2y−x)−(y−2x)(2y′−1)](2y−x)2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{[(y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1)]}{(2y - x)^2}$ 代入 $\frac{y - 2x}{2y - x}$ 并化简。

首先，分别处理分子中的两项：
- 第一项： $(y−2x2y−x−2)(2y−x)=(y−2x−2(2y−x)2y−x)(2y−x)=−3y\left( \frac{y - 2x}{2y - x} - 2 \right)(2y - x) = \left( \frac{y - 2x - 2(2y - x)}{2y - x} \right)(2y - x) = -3y$
- 第二项： $\left( 2\cdot\frac{y - 2x}{2y - x} - 1 \right) = (y - 2x) \left( \frac{2y - 4x - (2y - x)}{2y - x} \right) = \frac{-3x(y - 2x)}{2y - x}$
因此，整个分子为： $分子=(−3y)−(−3x(y−2x)2y−x)=−3y+3x(y−2x)2y−x\text{分子} = (-3y) - \left( \frac{-3x(y - 2x)}{2y - x} \right) = -3y + \frac{3x(y - 2x)}{2y - x}$ 通分后合并： $分子=−3y(2y−x)+3x(y−2x)2y−x=−6y2+3xy+3xy−6x22y−x=−6(x2−xy+y2)2y−x\text{分子} = \frac{-3y(2y - x) + 3x(y - 2x)}{2y - x} = \frac{-6y^2 + 3xy + 3xy - 6x^2}{2y - x} = \frac{-6(x^2 - xy + y^2)}{2y - x}$

最终，二阶导数为： $d2ydx2=−6(x2−xy+y2)2y−x(2y−x)2=−6(x2−xy+y2)(2y−x)3=6(x2−xy+y2)x3−6x2y+12xy2−8y3\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ \frac{-6(x^2 - xy + y^2)}{2y - x} }{ (2y - x)^2 } = -\frac{6(x^2 - xy + y^2)}{(2y - x)^3} = \frac{6(x^2 - xy + y^2)}{x^3 - 6x^2y + 12x y^2 - 8y^3}$ 这个结果也可以通过因式分解，写成与Python输出一致的形式 $6(x2−xy+y2)(x−2y)3\frac{6(x^2 - xy + y^2)}{(x - 2y)^3}$ 。

Python实现

from sympy import Function, Eq, solvey_func = Function('y')(x)
equation = x**2 + y_func**2 - x*y_func - 1# 一阶导数
deriv_eq1 = diff(equation, x)
y_prime = solve(deriv_eq1, diff(y_func, x))# 二阶导数
deriv_eq2 = diff(deriv_eq1, x)
y_double_prime = solve(deriv_eq2, diff(y_func, x, 2))# 替换一阶导数
y_double_prime_simplified = y_double_prime.subs(diff(y_func, x), y_prime)print("隐函数的高阶导数:")
print(f"方程: {equation} = 0")
print(f"一阶导数: dy/dx = {y_prime}")
print(f"二阶导数: d²y/dx² = {y_double_prime_simplified.simplify()}")