三种方法解开——力扣3370.仅含置位位的最小整数
【LeetCode题解】找出二进制全为1且大于等于n的最小整数 | Java详细题解
题目链接：力扣3370.仅含置位位的最小整数
难度：简单
标签：数学、位运算、枚举
一、题目描述
给你一个正整数 n，请返回一个整数 x，要求满足：
x >= nx的二进制表示仅包含 1（也称为“置位位”）
换句话说，x 的二进制形态必须是：
1, 11, 111, 1111, ...
对应的十进制形式为：
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...
即形如 x = 2^k - 1 的数。
示例
示例 1：
输入：n = 5
输出：7
解释：7 的二进制是 "111"，满足条件。
示例 2：
输入：n = 10
输出：15
解释：15 的二进制是 "1111"，满足条件。
示例 3：
输入：n = 3
输出：3
解释：3 的二进制是 "11"，刚好满足条件。
二、思路分析
题目要求的结果必须是形如 2^k - 1 的数。
我们需要找到最小的 k，使得：
2^k - 1 >= n
这其实是一个非常经典的二进制问题：
- 当 k = 1 时，
2^1 - 1 = 1 - 当 k = 2 时，
2^2 - 1 = 3 - 当 k = 3 时，
2^3 - 1 = 7 - 当 k = 4 时，
2^4 - 1 = 15 - 以此类推……
我们只要从 k = 1 开始枚举，计算 (1 << k) - 1，直到它不小于 n 为止即可。
由于题目限制 n <= 1000，而 2^10 - 1 = 1023 > 1000，所以最多循环 10 次就能得到答案，非常高效。
三、代码实现（Java）
方法一：位运算枚举（推荐写法）
class Solution {public int smallestNumber(int n) {int k = 1;while (true) {int val = (1 << k) - 1; // 计算 2^k - 1if (val >= n) return val;k++;}}}
代码解析：
- 使用左移
(1 << k)表示2^k。 - 减一
(1 << k) - 1得到k个连续的 1。 - 不断递增
k，直到结果不小于n即可返回。
该算法逻辑简单、运行快速、完全不会超时。
方法二：数学公式法（log2 推导）
由公式：
2^k - 1 >= n
可得：
k >= log2(n + 1)
因此：
k = ceil(log2(n + 1))
然后结果为：
ans = 2^k - 1
Java 实现如下：
class Solution {public int smallestNumber(int n) {int k = (int) Math.ceil(Math.log(n + 1) / Math.log(2));return (1 << k) - 1;}
}
⚠ 注意：
- 由于浮点数计算存在微小误差，理论上可能在某些临界值出现偏差（如 7.999999999 被取整为 7）。
- 为安全起见，建议使用枚举写法作为主方法。
方法三：使用 long 防溢出（通用写法）
若题目允许 n 很大（例如超出 32 位范围），可以使用 long 以避免位运算溢出：
class Solution {public long smallestNumber(long n) {long k = 1;while (true) {long val = (1L << k) - 1;if (val >= n) return val;k++;}}
}
四、复杂度分析
| 项目 | 复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(1) | 对于 n <= 1000，循环次数极少（最多 10 次） |
| 空间复杂度 | O(1) | 只使用了常数个变量 |
五、扩展思考
-
这类题在位运算中非常常见，本质是利用
2^k - 1产生连续的1。 -
实际上
(1 << k) - 1的模式可以生成很多有规律的掩码（mask），常用于位图算法、掩码匹配、权限控制等。 -
举个例子：
((1 << 4) - 1)产生0b1111((1 << 8) - 1)产生0xFF- 这些形式在底层编程中极为常见。
六、总结
| 方法 | 思想 | 稳定性 | 推荐指数 |
|---|---|---|---|
| 位运算枚举 | 逐步生成 2^k - 1 | ✅ 稳定可靠 | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| 数学公式法 | 使用对数求解 | ⚠ 需防误差 | ⭐⭐⭐ |
| long版本 | 支持大范围 n | ✅ 通用稳健 | ⭐⭐⭐⭐ |
最终结论：
要找最小的“二进制全1且大于等于n”的数，只需找到最小的 k 满足：
2^k - 1 >= n
最终答案为：
(1 << k) - 1