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Problem: 2197. 替换数组中的非互质数

整体思路

这段代码旨在解决一个数组变换问题：给定一个整数数组 nums，需要不断地合并相邻的、不互质（最大公约数 > 1）的两个数，直到数组中任意相邻的两个数都互质为止。合并规则是将这两个数替换为它们的最小公倍数 (LCM)。

该算法巧妙地利用了 栈 (Stack) 的思想来模拟这个合并过程。虽然代码中使用的是 ArrayList，但其 add（入栈）、getLast（窥视栈顶）、removeLast（出栈）等操作完全符合栈的“后进先出” (LIFO) 特性。

1. 核心思想：栈式处理

   • 算法将最终的结果数组看作一个栈 st。它从左到右遍历输入的 nums 数组，逐个处理每个数 x。
   • 当处理一个新数 x 时，它需要与栈顶的元素进行比较。如果它们不互质，就需要合并。合并后的新数可能会继续与新的栈顶元素不互质，所以这个合并过程需要持续进行，直到新数与栈顶元素互质，或者栈为空。

2. 算法步骤：

   • 初始化一个空的列表（作为栈）st。
   • 遍历 nums 数组中的每一个元素 x。
   • 对于每个 x，进入一个 while 循环：
     a. 检查条件：!st.isEmpty() && gcd(x, st.getLast()) > 1。这个条件判断栈是否为空，以及当前数 x 是否与栈顶元素 st.getLast() 不互质。
     b. 合并操作：如果条件满足，说明需要合并。
     * int y = st.removeLast();：将栈顶元素 y 弹出。
     * x = (x / gcd(x, y) * y);：计算 x 和 y 的最小公倍数 (LCM)，并将结果赋给 x。这里使用了 lcm(x, y) = (|x * y|) / gcd(x, y) 的公式，为了防止溢出，写成了 (x / gcd(x, y)) * y 的形式。
     c. 循环继续：合并后得到的新 x，需要继续与新的栈顶元素进行比较，因此 while 循环会继续执行，直到 x 与栈顶互质或栈为空。
   • 入栈：当 while 循环结束后，说明当前的 x（可能是原始的 x，也可能是多次合并后的结果）已经可以安全地放在栈顶了。执行 st.add(x)，将其压入栈中。

3. gcd 辅助函数

   • 算法依赖于一个 gcd 函数来计算两个数的最大公约数 (Greatest Common Divisor)。
   • 代码中实现的是经典的欧几里得算法（辗转相除法），这是一个非常高效的计算最大公约数的方法。

4. 返回结果

   • 当 nums 数组中的所有元素都处理完毕后，栈 st 中剩下的元素就是最终的结果序列，将其返回。

完整代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {/*** 合并数组中所有不互质的相邻元素，直到任意相邻元素都互质。* @param nums 输入的整数数组* st.add(x);}return st;}/*** 使用欧几里得算法（辗转相除法）计算两个整数的最大公约数 (GCD)。* @param x 第一个整数* @param y 第二个整数* @return x 和 y 的最大公约数*/private int gcd(int x, int y) {// 循环直到余数为 0while (y != 0) {int temp = y;y = x % y; // 新的 y 是 x 除以 y 的余数x = temp; // 新的 x 是原来的 y}// 当 y 为 0 时，x 就是最大公约数return x;}
}

时空复杂度

• 设 N 是 nums 数组的长度。
• 设 U 是 nums 数组中元素的最大值。

时间复杂度：O(N * log U)

1. 外层循环：for (int x : nums) 遍历 nums 数组一次，执行 N 次。
2. 内层 while 循环：
   • 这个循环的行为是“合并”式的。每次循环都会消耗掉栈顶的一个元素。
   • 在整个算法的生命周期中，一个元素最多被压入栈一次，也最多被弹出一次。
   • 因此，while 循环的总执行次数（在所有外层循环中累加）不会超过 N 次。
3. gcd 函数：
   • 欧几里得算法的复杂度与输入数值的对数成正比。计算 gcd(x, y) 的时间复杂度大约是 O(log(min(x, y)))。
   • 在我们的算法中，每次调用 gcd，其参数都与输入中的数值或它们的LCM相关。我们可以用 U (输入最大值) 作为其复杂度的上界，即 O(log U)。

综合分析：
总的时间复杂度大致是 (外层循环和内层循环的总迭代次数) * (单次 gcd 的时间)。
由于总迭代次数是 O(N) 级别，每次迭代都可能调用 gcd，所以总的时间复杂度是 O(N * log U)。

空间复杂度：O(N)

1. 主要存储开销：算法使用了一个列表 st 来作为栈。
2. 空间大小：
   • 在最坏的情况下，如果 nums 数组中的所有元素都两两互质，那么 st 栈将会存储所有 N 个元素。
   • 因此，st 占用的空间与输入规模 N 成线性关系。
3. gcd 函数：gcd 函数是迭代实现的，只使用了常数个额外变量，空间复杂度是 O(1)。

综合分析：
算法所需的额外空间主要由栈 st 决定。因此，其空间复杂度为 O(N)。