十倍烈火刀刀爆？伪随机分布（PRD）算法详解与C++实现

用亚索暴击举个栗子🌰

假设亚索面板暴击率 20%，但系统用的 PRD 算法：

1. 第一刀：实际暴击率只有7.6%（≈1/13概率）
   → 你Q小兵没暴击：“辣鸡机制！”

2. 继续砍：每刀失败后概率自动上涨

   • 第二刀：15.3%
   • 第三刀：22.9%
   • ...
     → 连砍5刀不暴击时，第六刀概率46%
     “对面亚索怎么刀刀暴击？？？”

3. 一旦暴击：概率立刻重置回7.6%
   → 刚暴击完的亚索：“这英雄没暴击玩个锤子？”

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最终效果：
➤ 实际暴击率还是20%左右
➤ 不会出现「连砍10刀不暴击」的非洲时刻
➤ 也很难「3刀2暴击」变成欧皇
➤ 让暴击手感更接近“偶尔小惊喜，不会太离谱”

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亚索100%暴击效果：

• 普攻刀刀暴击，Q技能「斩钢闪」必定暴击
• 配合无尽之刃，暴击伤害从180% → 210%（亚索被动减伤后）
• 对面ADC看到你："这亚索怎么Q比我的普攻还疼？" 😱

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经典老版本回忆：

以前出 「斯塔缇克电刃+幻影之舞」 两件直接100%，现在这两件暴击率都被削了，老玩家落泪 😭

一、伪随机分布算法原理

1.1 真随机与伪随机的区别

在计算机科学中，真随机数生成依赖物理熵源（如热噪声），而伪随机数通过算法生成看似随机的数列。伪随机分布（Pseudo-Random Distribution, PRD）是一种特殊的概率控制算法，广泛用于游戏开发领域。

1.2 PRD算法的核心机制

PRD算法通过动态调整事件触发概率，解决传统均匀分布随机算法的极端分布问题（如连续暴击或长时间不暴击）。其核心公式为：

P(N)=C⋅N

其中：

• ‌N‌ 表示连续未触发事件的次数（初始为1，触发后重置）
• ‌C‌ 为概率增量系数，需通过数学方法计算得出
• ‌P(N)‌ 为第N次尝试时的实际触发概率

当事件触发时，N重置为1；否则N递增，直至触发概率达到100%‌。

1.3 概率增量系数C的计算

C的计算目标是使实际概率均值逼近期望概率（例如25%暴击率）。通过以下步骤迭代求解：

1. ‌数学期望公式‌：
   E=∑i=1∞P(i)⋅∏j=1i−1(1−P(j))E=∑i=1∞​P(i)⋅∏j=1i−1​(1−P(j))
2. ‌二分逼近法‌：
   在区间(0, 1)内通过二分法迭代计算C，直至满足 |E - 目标概率| < ε（如ε=1e-6）‌

二、C++实现

2.1、完整示例代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <limits>
#include <utility>

// 根据 C 值估算实际暴击率
double estimateCriticalChanceByC(double c)
{
    const int max_iterations = 1000000; // 防止无限循环
    if (c <= 0.0)
        return 0.0;

    double survival_prob = 1.0; // 存活概率（未暴击的概率）
    double e_pn = 0.0;          // 期望攻击次数的倒数即暴击率

    for (int k = 1; k <= max_iterations; ++k)
    {
        const double kc = k * c;
        const double current_prob = survival_prob * kc;

        e_pn += k * current_prob;
        survival_prob *= (1.0 - kc);

        // 提前终止条件：存活概率趋近于0或精度足够
        if (survival_prob < 1e-12)
            break;
    }

    return (e_pn > 0) ? 1.0 / e_pn : 0.0;
}

// 二分查找法计算最佳 C 值
std::pair<double, double> calculateCByBinarySearch(double target_chance)
{
    const double epsilon = 1e-9;    // 精度阈值
    const int max_iterations = 100; // 最大迭代次数

    double left = 0.0;
    double right = 1.0; // 扩展搜索范围到 [0,1]
    double best_c = 0.0;
    double best_estimate = 0.0;

    for (int iter = 0; iter < max_iterations; ++iter)
    {
        const double mid = (left + right) / 2.0;
        const double estimate = estimateCriticalChanceByC(mid);

        // 记录最接近目标的解
        if (std::fabs(estimate - target_chance) <
            std::fabs(best_estimate - target_chance))
        {
            best_c = mid;
            best_estimate = estimate;
        }

        // 终止条件：达到精度或范围足够小
        if (std::fabs(estimate - target_chance) < epsilon ||
            (right - left) < epsilon)
        {
            break;
        }

        // 调整搜索区间
        if (estimate > target_chance)
        {
            right = mid;
        }
        else
        {
            left = mid;
        }
    }

    return {best_c, best_estimate};
}

void testPrd(double target)
{

    const auto [c, actual] = calculateCByBinarySearch(target);

    std::cout << std::fixed << std::setprecision(10);
    std::cout << "目标暴击率: " << target * 100 << "%\n"
              << "计算 C 值: " << c << "\n"
              << "实际暴击率: " << actual * 100 << "%\n"
              << "-------------------------------\n";
}

int main()
{
    testPrd(0.05);
    testPrd(0.25);
    testPrd(0.50);
    testPrd(0.75);
    return 0;
}

编译运行，

g++ -std=c++17 prd.cc -o prd

 输出结果，

目标暴击率: 5.0000000000%
计算 C 值: 0.0038016583
实际暴击率: 4.9999999869%
-------------------------------
目标暴击率: 25.0000000000%
计算 C 值: 0.0847443668
实际暴击率: 25.0000000418%
-------------------------------
目标暴击率: 50.0000000000%
计算 C 值: 0.3072131593
实际暴击率: 50.0000000805%
-------------------------------
目标暴击率: 75.0000000000%
计算 C 值: 0.8643567767
实际暴击率: 74.9999999742%

2.2、算法步骤解析‌

‌1. 暴击率估算函数（estimateCriticalChanceByC）‌

‌输入‌：参数C（控制暴击概率增长的系数）

‌输出‌：实际暴击率的估算值

‌核心逻辑‌：

• Step1、初始化存活概率survival_prob（未暴击的累积概率）和期望攻击次数倒数e_pn‌。
• Step2、遍历攻击次数k（从1到max_iterations）：

1. 计算当前攻击暴击的概率：current_prob = survival_prob * k * C
2. 累加期望攻击次数的倒数：e_pn += k * current_prob
3. 更新存活概率：survival_prob *= (1 - k * C)
4. 若存活概率小于阈值（1e-12），提前终止循环‌。

• Step3、返回实际暴击率：1.0 / e_pn（期望攻击次数的倒数）。

‌2. 二分查找法求C值（calculateCByBinarySearch）‌

‌输入‌：目标暴击率target_chance

‌输出‌：最佳C值及对应的实际暴击率

‌核心逻辑‌：

• Step1、初始化搜索区间[left, right] = [0.0, 1.0]，记录最优解的变量best_c和best_estimate‌。
• Step2、进行最多max_iterations次二分查找：

1. 计算中点mid，调用estimateCriticalChanceByC得到估算暴击率。
2. 更新最优解记录。
3. 根据估算值与目标的差距调整搜索区间：
   • 若估算值大于目标，缩小右边界。
   • 否则缩小左边界。
4. 达到精度阈值（epsilon=1e-9）或区间足够小时终止。

• Step3、返回最优C值和实际暴击率。

‌3. 测试函数（testPrd）‌

调用二分查找函数，格式化输出目标暴击率、计算得到的C值和实际暴击率，保留10位小数‌。

2.3、时间复杂度分析‌

‌1. 暴击率估算函数‌

• ‌时间复杂度‌：O(max_iterations)，即O(1e6)。
  • 循环最多执行1e6次，每次循环包含常数时间操作。
  • 实际运行次数由survival_prob衰减速度决定（通常远小于1e6）。

‌2. 二分查找法‌

• ‌时间复杂度‌：O(max_iterations * T_estimate)，其中T_estimate为单次估算的时间复杂度。
  • 二分查找最多迭代100次‌。
  • 每次迭代调用estimateCriticalChanceByC，总复杂度为O(100 * 1e6) = O(1e8)。

‌3. 整体复杂度‌

• 测试4个目标值时，总复杂度为4 * O(1e8) = O(4e8)，属于可接受的离线计算范围。

2.4、关键设计点‌

1. ‌提前终止优化‌：在暴击率估算中，当存活概率趋近于0时提前终止循环，减少无效计算‌。
2. ‌精度控制‌：二分查找的终止条件结合了目标精度（epsilon=1e-9）和搜索区间大小，确保结果稳定性‌。
3. ‌数值稳定性‌：使用std::fixed和std::setprecision保证输出精度，避免浮点误差‌。

三、应用场景与优势

特性‌	‌传统均匀随机‌	‌PRD算法‌
极端事件概率	较高	显著降低
玩家体验	不可控	可预测且平滑
实现复杂度	低	需数学计算C值

典型应用案例‌：

1. MOBA游戏暴击机制（如DOTA2）
2. 抽卡保底系统设计
3. 玩家技能触发判定‌

四、PRD算法数学优化

针对当前迭代算法进行数值优化：

• 采用牛顿迭代法替代二分查找，提升收敛速度（迭代次数可降至20次以内）‌
• 引入动态步长调整机制，当|estimate-target| < 1e-5时切换为精细搜索‌