算法日记34：14届蓝桥C++B接龙数列(动态规划DP)

一、题目：

二、题解一：朴素动态规划$O(n^2)$ $50$%样例

1、解题思路

1）通过观察题目我们发现：题目意思为从序列中最少删除多少数,可以使得接下来的序列是接龙序列

2）因此我们可以将其转化为求最长的接龙子序列的长度$x$,用$(n-x)$即是答案

3）接着题目就变成了典型的$DP$问题：求解最长接龙子序列

2、动态规划做题步骤

1）重述问题：

• 找一个最长的接龙子序列

2）找到最后一步：

• 选择了某个数$a[x]$,作为接龙序列的最后一位

3）去掉最后一步骤，原问题变成了什么？（如果可以就尝试用去掉最后一步的状态推导->最后一步）

• 从$(1->x-1)$中,找最长的接龙子序列

原问题的答案=(1~x-1)中，找最长的接龙子序列的长度+1(且最后一位需要满足条件)

4）考虑边界

3、关键代码解析

int col(int x)  //取出其第一位
{
  int temp=0;
  while(x)
  {
    temp=x%10;
    x/=10;
  }
  return temp;
}

//遍历找最后一位
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    int last=col(a[i]); //拿出其第一位
    dp[i]=1;  //默认长度为1
    for(int j=1;j<=i-1;j++) //从1~x-1中找倒数第二位
    {
      if(a[j]%10==last) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);	//判断是否由倒数第二位推出
    }
  }
  int res=-1;
  for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp[i]);
  cout<<n-res<<'\n';

三、题解二：DP优化$O(n)$

通过观察我们发现：最长接龙子序列的最后一位仅仅是(1~10)，且它具有后效性
因此我们可以考虑简化dp数组

1、解题思路

1）我们可以令dp[d]为以d为结尾的最长接龙子序列的长度

• 比如dp[1]表示以1为结尾的最长接龙子序列的长度

2）现在我们枚举到了a[i]这个数，它的最高位是x，最后一位是y

3）此时我们发现，这个值有且只有两种情况

• 找到一个以x为结尾的一个序列，将其接上去,这样原本结尾是x的序列，就变成了结尾是y的序列(此时dp[y]=dp[x]+1)
• 或者不接上去，那么dp[y]的值也不会受其影响(也就意味着此时有以y为结尾的已经更优了)(此时dp[y]不变)

4）因此状态转移方程应该为：$dy[y]=max(dp[y],dp[x]+1)$

2、关键代码解析：

• 1^# 获取一个数字的最高位与最低位数
• 2^#选择接入以first为结尾,使得以end为结尾$+1$
• 3^# 不接入,以end为结尾的已经优于以fir为结尾的

 //遍历找最后一位
  for(ll i=1;i<=n;i++)
  {
    ll first=col_fir(a[i]); //拿出其第一位和最后一位
    ll end=a[i]%10;

    //选择接入以first为结尾,使得以end为结尾+1 /
    //不接入,以end为结尾的已经优于以fir为结尾的
    dp[end]=max(dp[end],dp[first]+1); 
  }
  ll res=-1;
  for(ll i=1;i<=9;i++) res=max(res,dp[i]);
  cout<<n-res<<'\n';

3、完整代码解析：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=2e5+7;
ll a[N];
ll dp[17];//表示以i为结尾在最长序列

ll col_fir(ll x)  //取出其第一位
{
  ll temp=0;
  while(x)
  {
    temp=x%10;
    x/=10;
  }
  return temp;
}

void solve()
{
  ll n;cin>>n;
  for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
  //通过
  //题目意思为从序列中最少删除多少数,可以使得接下来的序列是接龙序列
  //因此我们可以将其转化为求最长的接龙子序列的长度x,(n-x)即是答案

  //遍历找最后一位
  for(ll i=1;i<=n;i++)
  {
    ll first=col_fir(a[i]); //拿出其第一位和最后一位
    ll end=a[i]%10;

    //选择接入以first为结尾,使得以end为结尾+1 /
    //不接入,以end为结尾的已经优于以fir为结尾的
    dp[end]=max(dp[end],dp[first]+1); 
  }
  ll res=-1;
  for(ll i=1;i<=9;i++) res=max(res,dp[i]);
  cout<<n-res<<'\n';
}  

int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
  int _=1;
  while(_--) solve();
  return 0;
}