算法基础 典型题 数学（基础）

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一、基本概念

算法题 里面有一类相对特殊的题目 涉及数学原理。本质是因为数学是算法设计的 “底层逻辑” 和 “高效工具”，很多问题的本质是数学问题，或需要用数学原理简化求解；leetcode&面试 数学相关题目并非都需要高深理论，多数是「基础数学概念 + 算法思维」的结合。如果是ACM等竞赛相关，会涉及更多的数学原理内容，有更高要求。

1、本次总结围绕基础数学内容（非竞赛类型），相关概念整理如下：

2、相对其他非数学题目，数学类算法题目注意事项：
数学题需先吃透基础概念（如质数、GCD、模运算）再上手，非数学题可边练边熟悉数据结构操作或流程逻辑；数学题核心是把问题抽象成数学模型（如转化为组合数、卡特兰数），非数学题侧重拆解需求为具体执行步骤；数学题练习要归纳通用模板 + 验证原理（如埃氏筛、辗转相除法），非数学题需适应场景变体 + 调试操作细节（如链表指针、窗口边界）；

二、场景分析

1、按题目类型进行总结

2、相关技巧总结
1）看题目是否含明确数学概念（如质数、GCD、组合数、卡特兰数），有则优先用数学；
2）若需计算特殊结果（如面积、大数字加减、排列数），或涉及数字性质（如 2 的幂、余数），用数学；
3）常规方法（暴力、模拟）超时 / 复杂时，排查是否有数学规律（递推公式、数论性质）可简化；
4）遇到 “计数、优化计算、数字关系判断” 类问题，优先联想数学工具（如筛法、模运算、叉积）。

三、典型题目

204. 计数质数
给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

// 思路1：枚举法，结果超时。bool isPrime(int n) {for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) {return false;}}return true;}
public:int countPrimes(int n) {int cnt = 0;for (int i = 2; i  < n; i++) {cnt += isPrime(i);}return cnt;}
//------------------------------------------------------------------
// 思路2：埃氏筛。如果 x 是质数，那么大于 x 的 x 的倍数 2x,3x,… 一定不是质数。int countPrimes(int n) {vector<int> isprime(n, 1); // 先都初始化为都是质数int cnt = 0;for (int i = 2; i < n; i++) { // 从最小质数2开始遍历if (isprime[i]) {cnt++;// 标记i的所有倍数为非质数（从i*i开始，优化效率）if ((long long) i * i < n) {// 从i*i开始（而非2i），因为i*2, i*3...i*(i-1)早已被比i小的质数标记过for (int j = i * i; j < n; j += i) {isprime[j] = 0; // j是i的倍数，标记为非质数}}}}return cnt;}

埃氏筛：如果一个数i是质数，那么它的所有倍数（2i, 3i, 4i…）一定不是质数，可直接标记为非质数。
优化点：标记倍数时从ii开始（而非2i），因为i2, i3…i(i-1)早已被比i小的质数（如 2,3…i-1）标记过（例如i=5时，52=10已被 2 标记，53=15已被 3 标记，只需从55=25开始标记）。防溢出处理：(long long)i * i < n确保计算ii时不会因i过大导致 int 类型溢出（如i=46340时，i*i约为 2e9，超过 int 最大值，转为 long long 可正确判断）。

1979. 找出数组的最大公约数
给你一个整数数组 nums ，返回数组中最大数和最小数的 最大公约数 。两个数的 最大公约数 是能够被两个数整除的最大正整数。

    int getgcd(int a, int b) {while (a % b) {int remain = a % b;a = b;b = remain;}return b;}
public:int findGCD(vector<int>& nums) {// 思路：数学 辗转相除法int max = nums[0];int min = nums[0];for (auto &num : nums) {if (num > max) {max = num;}if (num < min) {min = num;}}return getgcd(min, max);}

辗转相除法是快速求两个正整数最大公约数（GCD） 的经典算法，核心是利用 “余数递推” 大幅降低计算量，比暴力枚举效率高得多。对任意两个正整数 a（较大数）和 b（较小数，b≠0），满足：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)（a % b 表示 a 除以 b 的余数，结果范围是 0 ≤ 余数 < b）。终止条件：当余数 a % b = 0 时，此时的 b 就是原来两个数的 GCD。

504. 七进制数
给定一个整数 num，将其转化为 7 进制，并以字符串形式输出。

    string convertToBase7(int num) {// 思路：数学 倒推if (num == 0) {return "0";}bool negative = num < 0;num = abs(num);string ret;while (num > 0) {ret.push_back(num % 7 + '0');num /= 7;}if (negative) {ret.push_back('-');}reverse(ret.begin(), ret.end());return ret;}

1201. 丑数 III
丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。给你四个整数：n 、a 、b 、c ，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。

118. 杨辉三角
给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

    vector<vector<int>> generate(int numRows) {vector<vector<int>> ret(numRows);for (int i = 0; i < numRows; ++i) {\// 调整当前行的长度为i+1ret[i].resize(i + 1);// 设置当前行的首尾元素为1ret[i][0] = ret[i][i] = 1;// 计算当前行的中间元素（j从1到i-1，即非首尾位置）for (int j = 1; j < i; ++j) {// 中间元素 = 上一行相邻两元素之和ret[i][j] = ret[i - 1][j] + ret[i - 1][j - 1];}}return ret;}