将有序数组转换为二叉搜索树

一、题目内容

给你一个整数数组 nums ，其中元素已经按 升序 排列，请你将其转换为一棵 平衡 二叉搜索树。

示例 1：

输入：nums = [-10,-3,0,5,9]
输出：[0,-3,9,-10,null,5]
解释：[0,-10,5,null,-3,null,9] 也将被视为正确答案：

示例 2：

输入：nums = [1,3]
输出：[3,1]
解释：[1,null,3] 和 [3,1] 都是高度平衡二叉搜索树。

二、源代码（部分)

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     struct TreeNode *left;*     struct TreeNode *right;* };*/
struct TreeNode* helper(int* nums, int left, int right) {if (left > right) {return NULL;}// 总是选择中间位置左边的数字作为根节点int mid = (left + right) / 2;struct TreeNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));root->val = nums[mid];root->left = helper(nums, left, mid - 1);root->right = helper(nums, mid + 1, right);return root;
}struct TreeNode* sortedArrayToBST(int* nums, int numsSize) {return helper(nums, 0, numsSize - 1);
}

三、题目解析

1. 递归边界处理：定义辅助函数helper，接收数组nums、左边界left和右边界right。当left > right时（子数组为空），返回NULL，表示当前子树为空。

2. 选择根节点：对于非空子数组（left ≤ right），计算中间索引mid = (left + right) / 2，选择nums[mid]作为当前子树的根节点。这一选择保证了左右子树的节点数量尽可能均衡，为构建平衡树奠定基础。

3. 递归构建左右子树：

   • 左子树由原数组中[left, mid-1]范围内的元素构成，通过helper(nums, left, mid-1)递归构建。
   • 右子树由原数组中[mid+1, right]范围内的元素构成，通过helper(nums, mid+1, right)递归构建。

4. 返回根节点：最终构建的树的根节点由helper(nums, 0, numsSize-1)返回，即整个数组对应的平衡 BST。

四、实验总结

1. 算法正确性：

   • 满足二叉搜索树性质：由于数组升序，左子树元素（[left, mid-1]）均小于根节点nums[mid]，右子树元素（[mid+1, right]）均大于根节点，符合 BST 的左小右大特性。
   • 满足平衡树性质：每次选择中间元素作为根节点，确保左右子树的节点数量差不超过 1，因此整棵树的高度差不会超过 1，是高度平衡的。

2. 时间复杂度：O (n)，其中 n 是数组长度。每个元素会被访问一次（作为根节点），递归过程中没有重复计算，因此时间复杂度与数组长度成正比。

3. 空间复杂度：O (logn)（不考虑输出树的空间）。递归调用的栈深度取决于树的高度，由于是平衡树，高度为 logn，因此栈空间复杂度为 O (logn)。若考虑输出树的存储空间，则为 O (n)（需存储 n 个节点）。

4. 特点与扩展：

   • 该实现选择中间偏左的元素作为根节点（mid = (left + right) / 2），若选择中间偏右的元素（如mid = (left + right + 1) / 2），也可构建平衡 BST，结果可能不同但均满足要求。
   • 对于升序数组，转换为平衡 BST 的结果不唯一，但该方法是最直接且高效的实现方式。