【11408学习记录】考研数学概率论攻坚：事件的独立性与独立重复试验核心精讲

数学

概率论与数理统计

事件的独立性

设 $A,B$ 为两个事件，如果 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，简称 $A$ 与 $B$ 独立

1. 表示两个事件相互独立的其他形式

• 若 $P(A)>0,P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$
• $P(A)=0$
  若 $P(A)=0$ ，且 $AB\subset A$ ，则 $0\le P(AB)\le P(A)=0$ ，故 $P(AB)=0$ ，即 $P(AB)=P(A)P(B)$ 依然成立.

2. 两个事件不相互独立时

• 若 $P(AB)>P(A)P(B)$ ，则 $P(B|A)>P(B)$
• 若 $P(AB)<P(A)P(B)$ ，则 $P(B|A)<P(B)$

独立性的判定

1. $A$ 与 $B$ 相互独立 $\stackrel{(\ast )}{\iff }A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立 $\iff \bar{A}$ 与 $B$ 相互独立 $\iff \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相互独立

2. 对独立事件组不含相同事件作运算，得到的新事件组仍独立，如 $A,B,C,D$ 相互独立，则 $AB$ 与 $CD$ 相互独立，$A$ 与 $BC-D$ 相互独立

3. 若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$ ，则 $A$ 与任意事件 $B$ 相互独立.

独立试验序列概型与n重伯努利概型

在同样条件下独立重复地进行一系列完全相同的试验，即每次试验的可能结果及其发生的概率都不变，每次试验是相互独立的，称这种重复试验序列的概率模型为独立试验序列概型，如果每次试验只有两个结果 $A$ 与 $\bar{A}$ ，且在每次试验中 $A$ 发生的概率都相等（即 $P(A)=p$），将这种试验独立重复 $n$ 次，则称这种试验的概率模型为 n重伯努利概型.

英语

每日一句

Though often viewed as a problem for western states, the growing frequency of wildfires is a national concern because of its impact on federal tax dollars, says Professor Max Moritz, a specialist in fire ecology and management.(2017, Reading Comprehension, Part A Text 4)

词汇

be viewed as……：被视为……，被看作……
the growing frequency of……：越来越频繁的……
frequency: n. 频繁；频率
frequent: adj. 频繁的，经常性的
national concern: 全国性的担忧，全社会的关注
specialist: n. 专家
ecology: n. 生态学；生态

第一步：找谓语

Though often viewed as a problem for western states, the growing frequency of wildfires is a national concern because of its impact on federal tax dollars, says Professor Max Moritz, a specialist in fire ecology and management.

第二步：断句

原句中存在2处谓语，包含2件事，其谓语分布在以下位置：

• is 为宾语从句谓语
• says 为主句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将原句断开为以下分句：

• Though often viewed as a problem for western states, the growing frequency of wildfires is a national concern because of its impact on federal tax dollars, —— 宾语从句
• says Professor Max Moritz, a specialist in fire ecology and management. —— 主句

第三步：简化

宾语从句

Though often viewed as a problem for western states, the growing frequency of wildfires is a national concern because of its impact on federal tax dollars,

• 让步状语部分：Though often viewed as a problem for western states,
  • 引导词：though 引导让步状语，修饰主句
  • 副词：often 修饰动词：viewed 表示程度
  • 非谓语动词词组：viewed as a problem 表示被动
  • 介词短语：for western states 为后置定语，修饰名词：problem 表示具体的对象
• 从句主语部分：the growing frequency of wildfires
  • 此处省略了从句引导词：that ，从句作为主句谓语：says 的宾语，因此为宾语从句
  • 定冠词：the 修饰名词：frequency
  • 形容词：growing 修饰名词：frequency
  • 名词：frequency 为从句主语核心词
  • 介词短语：of wildfires 为后置定语，修饰名词：frequency，说明具体范围
• 从句谓语部分：is 为系动词，后接表语
• 从句表语部分：a national concern because of its impact on federal tax dollars,
  • 不定冠词：a 修饰名词：concern
  • 形容词：national 修饰名词：concern
  • 名词：concern 为表语核心词
  • 介词短语：because of its impact 为原因状语，修饰从句
  • 介词短语：on federal tax dollars 为后置定语，修饰名词：impact 说明其具体的对象

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

-…… frequency …… is…… concern …… —— …… 频率 …… 是 …… 关注……

主句

says Professor Max Moritz, a specialist in fire ecology and management.

• 主句主语部分： Professor Max Moritz, a specialist in fire ecology and management.
  • 人名：Max Moritz 为同位语，修饰名词：professor
  • 名词短语：a specialist in fire ecology and management. 为同位语，进一步解释说明：professor
• 主句谓语部分：says 为及物动词，后接宾语，此处为倒装，将谓语提至主语前

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• says Professor …… —— …… 教授说