UVa 13277 XOR Path

题目分析

问题描述

给定一棵无根带权树，节点数为 $n$ ($n\le 100000$)，边权为 $16$ 位无符号整数（取值范围为 $0$ 到 $2^{16}-1$）。对于每个整数 $x$ ($0\le x\le 2^{16}-1$)，需要计算树中有多少对不同的无序节点 $(u,v)$，使得它们之间的路径异或和等于 $x$。

路径异或和定义为连接两节点的唯一路径上所有边权的异或和。

关键观察

1. 异或路径性质
   在树结构中，如果选定任意节点作为根，定义 $dist[u]$ 为节点 $u$ 到根节点的路径异或和，那么任意两个节点 $u$ 和 $v$ 之间的路径异或和可以表示为：
   $$dist[u]\oplus dist[v]$$
   这是因为从 $u$ 到 $v$ 的路径可以看作 $u\to root\to v$，而公共部分 $root\to LCA(u,v)$ 在异或操作中会相互抵消。

2. 问题转化
   原问题转化为：给定数组 $dist[\mathrm{1..}n]$，计算对于每个 $x$，满足 $dist[$