【11408学习记录】考研数学重点突破：概率论核心概念(性质+7大公式)

数学

概率论与数理统计

概率的性质

1. 有界性：对于任一事件 $A$ ，有 $0\le P(A)\le 1$ ，且 $P(\varnothing )=0,P(\Omega )=1$
2. 单调性：设 $A,B$ 是两个事件，若 $A\subset B$ ，则有：

$$P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\ge P(A)$$

概率的公式

1. 逆事件概率公式：对于任一事件 $A$ ，有 $P(\bar{A})=1-P(A)$

2. 加法公式：对于任意两个事件 $A,B$，有

$$\begin{gathered} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\ P(A\cup B)=P(A\bar{B}\cup AB\cup B\bar{A})=P(A\bar{B})+P(AB)+P(B\bar{A}) \end{gathered}$$

3. 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\bar{B})$

4. 条件概率公式：设 $A,B$ 为任意两个事件，若 $P(A)>0$ ，我们称在已知事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为条件概率，记为 $P(B|A)$ ，且 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

5. 乘法公式：如果 $P(A)>0$ ，则 $P(AB)=P(A)P(B|A)$
   一般地，对于 $n>2$ ，如果 $P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0$ ，则

$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$

6. 全概率公式：如果 $\bigcup _{i=1}^n=\Omega ,A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j;i,j=1,2,\cdots ,n),P(A_i)>0$ 则对任一事件 $B$ ，有 $B=\bigcup _{i=1}^n{A}_{i}B,P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$

7. 贝叶斯公式（又称逆概率公式）：如果 $\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega ,A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j;i,j=1,2,\cdots ,n),P(A_i)>0$ ，则对任一事件 $B$ ，只要 $P(B)>0$ ，就有

$$P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}(j=1,2,\cdots ,n)$$

英语

每日一句

Rather than pulling students back, a gap year pushes them ahead by preparing them for independence, new responsibilities and environmental changes — all things that first-year students often struggle with the most.​(2017, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

pull back: 使后退，向后拉
push ahead: 推进，促进
independence: n. 独立，自立， 自主
independent: adj. 独立的，自立的，自主的；单独的
independently: adv. 独立地，自立地，自主地
responsibility: n. 责任，职责；义务
responsible: adj. 负责的，可靠的；有责任的
responsibly: adv. 认真负责地，可靠地，可信赖地
environmental change: 环境变化
struggle with…… 与……斗争（或抗争）

第一步：找谓语

Rather than pulling students back, a gap year pushes them ahead by preparing them for independence, new responsibilities and environmental changes — all things that first-year students often struggle with the most.​

第二步：断句

原句存在两处谓语，包含两件事，其谓语分布在以下位置：

• pushes 为主句谓语
• struggle 为 that 引导的定语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将原句断开为以下分句：

• Rather than pulling students back, a gap year pushes them ahead by preparing them for independence, new responsibilities and environmental changes — all things —— 主句
• that first-year students often struggle with the most. —— 定语从句

第三步：简化

主句

Rather than pulling students back, a gap year pushes them ahead by preparing them for independence, new responsibilities and environmental changes — all things

• 介词短语：Rather than pulling students back, 为让步状语从句，修饰主句
• 主句主语部分：a gap year
• 主句谓语部分：pushes
• 主句宾语部分：them
• 副词：ahead 修饰动词：pushes 表示推动的方向
• 介词短语：by preparing them for independence, new responsibilities and environmental changes 为方式状语，修饰主句
• 同位语部分：all things 解释说明破折号前的并列名词： independence, new responsibilities and environmental changes

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• …… year pushes them …… —— ……年推动他们……

定语从句

that first-year students often struggle with the most.​

• 从句引导词：that 引导定语从句，修饰代词：things，引导词在句中充当介词：with 的宾语
• 从句主语部分：first-year students
  • 复合名词：first-year 修饰名词：students
  • 名词：students 为从句主语核心词
• 从句谓语部分：often struggle with
  • 副词：often 修饰动词：struggle
  • 介词：with 与动词：struggle 构成常用搭配：struggle with ，表示“与……斗争”
• 最高级：the most 修饰从句，表示程度

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• that …… students …… struggle …… —— …… 学生 …… 与 …… 斗争