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二分查找

二分查找-非递归

1. 二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找（比如数字和字母等），将数列排序后再进行查找
2. 二分查找法的运行时间为对数时间O(log ₂ n)，即查找到需要的目标位置最多只需要log₂n步
3. 二分查找也是分治算法的一种体现

代码

package cn.jyc.suanfa;/*** @version: java version 1.8* @Author: Jyc* @description:* @date: 2023-11-06 15:32*/
public class ErFenChaZhaoSuanFa01 {public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 21, 55, 66};int tag = 11;int result = erFenChaZhao(arr, tag);System.out.println("结果为：" + result);}public static int erFenChaZhao(int[] arr, int target) {// 最左边的索引int left = 0;// 最右边的索引int right = arr.length - 1;// 左边的索引不能大于右边的索引while (left <= right) {// 通过将数组的第一个元素位置 left 和最后一个元素位置 right 相加，// 再除以2来得到中间索引值的。这种计算方式可能会导致整数溢出，// 因为当数组非常大时，left 和 right 的和可能会超过 int 类型的最大值
//            int mid = (left + right) / 2;// 通过将数组的第一个元素位置 left 和最后一个元素位置 right 的差值除以2，// 再加上 left 来得到中间索引值的。（先减再除最后加）// 这种计算方式避免了整数溢出的问题int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid;} else if (arr[mid] > target) {right = mid;} else {left = mid;}}return -1;}
}

分治算法

1. 分治算法介绍

   1. 分治算法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅里叶变换（快速傅里叶变换）……
   2. 分治算法可以求解的一些经典问题：二分搜索、大整数乘法、棋盘覆盖、合并排序、快速排序、线性时间选择、最接近点对问题、循环赛日程表、汉诺塔

2. 分治算法的基本步骤

   分治算法在每一层递归上都有三个步骤：

   1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
   2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
   3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解

3. 分治算法最佳实践-汉诺塔

4. 汉诺塔传说思路分析

   1. 如果是有一个盘，A->C
   2. 如果我们有N>=2情况，我们总是可以看做两部分盘（最下面的一个盘，上面的所有盘）
      1. 先把最上面的盘A->B
      2. 把最下边的盘A->C
      3. 把B塔的所有盘从B->C

5. 代码

package cn.jyc.suanfa;/*** @version: java version 1.8* @Author: Jyc* @description: 分治算法-汉诺塔* @date: 2023-11-06 16:22*/
public class HanoiTowerSuanFa02 {public static void main(String[] args) {hanoiTower(3, 'A', 'B', 'C');}public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {if (num == 1) { // 只有一个盘子直接从A移动到CSystem.out.println("将第" + num + "个盘子从"+a+"移动到"+c);} else { // 若是有多个盘子，思路是将A最下边的盘子放在C的最下边，剩余的先放在B// 把剩下的放在BhanoiTower(num - 1, a, c, b);// 移动最下边的盘子System.out.println("将第" + num + "个盘子从"+a+"移动到"+c);// 最后再把B上的盘子放在C上hanoiTower(num - 1, b, a, c);}}
}

动态规划

1. 动态规划算法介绍

   1. 动态规划算法的核心思想是：将大问题划分为小问题解决，从而一步步获取最优解的处理算法
   2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
   3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的
   4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

2. 动态规划算法最佳实践-背包问题

   有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

   物品	重量	价格
   吉他（G）	1	1500
   音响（S）	4	3000
   电脑（L）	3	2000

   要求：

   1. 要求达到的目标为装入的背包总价值最大，并且重量不超出
   2. 要求装入的物品不能重复

3. 思路分析

   1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大
   2. 其中问题分两种，01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可选）
   3. 这里的问题属于01背包，即每种类物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包
   4. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值，公式和解释如下：
      1. w[i]表示第i个商品的重量，v[i]表示第i个商品的价值，j表示当前背包的容量
      2. v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0
      3. 当w[i]>j时：v[i][j]=v[i-1][j]; //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
      4. 当j>w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}; // 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量（其中max内的参数分两个，比较出最大的一个，赋值给v[i][j]，具体解释：v[i-1][j]：即上一个单元格的装入的最大值（已有的值），v[i-1][j-w[i]]：装入i-1商品，到剩余空间为j-w[i]的最大值

分治算法和动态规划的比较

	分治算法	动态规划
定义	是一种将问题划分为较小子问题并独立解决的方法，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解，通常包含三个步骤：分解、解决、合并	是一种通过将问题划分为重叠子问题并存储子问题的解来解决问题的方法，通常包含三个步骤：定义子问题、推导子问题的解、构建最终解
重叠子问题（即子问题之间存在重复计算）	不涉及重叠子问题，每个子问题都独立解决	涉及子问题，为了避免重复计算，动态规划使用记忆化技术（如数组或哈希表）来存储子问题的解
子问题的求解顺序	子问题的解决顺序可以是任意的，通常是自顶向下的	子问题的解决顺序通常是自底向上的，即从最小的子问题开始逐步求解，直到得到原问题的解
解决问题的方式	通常将问题划分为较小的子问题，并独立地解决每个子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解	通常通过推导子问题的解来解决问题，并使用存储的子问题解来构建最终的解
使用范围	通常适用于可以将问题划分为多个独立子问题的情况，例如归并排序和快速排序	通常适用于具有最优子结构性质的问题，例如最长公共子序列和背包问题

KMP

贪心算法

普里姆算法

克鲁斯卡尔算法

迪杰斯特拉算法

弗洛伊德算法

马踏棋盘算法

雪花算法