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一、实战

1049最后一块石头的重量 II

1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）

思路：本题实质上和上一题 416. 分割等和子集类似，尽量让石头分成重量相同的两堆（尽可能相同），相撞之后剩下的石头就是最小的。一堆的石头重量是sum，那么我们就尽可能拼成 重量为 sum / 2 的石头堆。 这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量。 那么此时问题就是有一堆石头，每个石头都有自己的重量，是否可以 装满 最大重量为 sum / 2的背包。转化成01背包问题

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。而要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。考虑到边界值，就取用15001

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

4. 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！具体可以见之前几篇，总之就是使用一维滚动数组的时候，外层物品内层背包固定。

5. 举例推导dp数组

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

​

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

package org.example.DP;public class lastStoneWeightII1049 {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum = 0;//计算数组中所有相加总和for (int i : stones) {sum += i;}int target = sum / 2;//最终目标值int[] dp = new int[target + 1];//其实可以直接15000+1，但是用target能节省更多的空间for (int i = 0; i < stones.length; i++)//外层物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--)//内层倒序+重量,有位置放，位置不够无需处理{//两种情况，要么放，要么不放dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - stones[i]] + stones[i]);}return sum-2*dp[target];}
}

494目标和

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

本题要如何使表达式结果为target，将数组分为两个集合，正数集合left，减数集合right，一定有 left组合 - right组合 = target。left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。如果(target + sum)/2不是偶数，也就是(target + sum) % 2为1的情况，则找不到答案。

1. dp数组含义。

这里dp[j]表示容量为j的背包，装满的方法最大有几种。注意不是最大价值，是方法的数量！！

2. 确定递推公式

二维DP数组递推公式： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];（dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。）

去掉维度i 之后，递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]] ，即：dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

3. dp数组如何初始化

这里dp[0]初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。如果设置为0，在递推公式累加的情况下一直为0，再结合具体情况，所以初始为1。

#4. 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。

#5. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

​

拓展
关于一维dp数组的递推公式解释，也可以从以下维度来理解。（但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些）

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

package org.example.DP;public class findTargetSumWays494 {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;//计算数组中所有相加总和for (int i : nums) {sum += i;}//如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的if (Math.abs(target) > sum) return 0;//如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;int bag=(target + sum)/2;int[] dp=new int[bag+1];dp[0]=1;for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=bag;j>=nums[i];j--){dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}return dp[bag];}
}

474一和零

474. 一和零 - 力扣（LeetCode）

本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系。多重背包是每个物品，数量不同的情况。本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。理解成多重背包主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。但本题其实是01背包问题！只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2.确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

3.dp数组如何初始化

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4.确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

package org.example.DP;public class findMaxForm474 {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集,也就是最大个数int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];int oneNum, zeroNum;for (String str : strs) {oneNum = 0;zeroNum = 0;//统计每个中0和1的个数for (char ch : str.toCharArray()) {if (ch == '0') {zeroNum++;} else {oneNum++;}}//本质还是使用滚动数组，只是增加一个维度，所以还是需要倒序遍历for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {for (int j = n; j >= oneNum; j--) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);}}}return dp[m][n];}}