UVa 1354 Mobile Computing

题目分析

问题描述

在一个二维星球上，人们用石头制作移动雕塑（$\text{mobile}$）。一个 $\text{mobile}$ 的定义如下：

• 一个石头用一根绳子悬挂；或者
• 一根长度为 $1$ 的杆，两端各悬挂一个子 $\text{mobile}$，杆悬挂在两个子 $\text{mobile}$ 的整体重心处。

当两个子 $\text{mobile}$ 的重量分别为 $n$ 和 $m$，它们距离重心的距离分别为 $a$ 和 $b$ 时，满足力矩平衡方程：
$$n\times a=m\times b$$

给定石头的重量和房间的宽度，要求设计一个使用所有石头的 $\text{mobile}$，其宽度小于房间宽度，并且要使得这个宽度尽可能大。

输入格式

• 第一行：数据集数量 $T$
• 每个数据集：
  • 房间宽度 $r$（$0<r<10$）
  • 石头数量 $s$（$1\le s\le 6$）
  • $s$ 个石头的重量 $w_i$（$1\le w_i\le 1000$）

输出格式

对于每个数据集，输出可能的最大宽度（精度误差不超过 $10^{-8}$），如果没有满足条件的 $\text{mobile}$，输出 $-1$。

解题思路

关键观察

1. 力矩平衡条件：当合并两个子树时，设左子树重量为 $n$，右子树重量为 $m$，则左子树重心到整体重心的距离为：
   $$a=\frac{m}{n+m}$$
   右子树重心到整体重心的距离为：
   $$b=\frac{n}{n+m}$$

2. 宽度计算：$\text{mobile}$ 的总宽度等于悬挂点到最左端的距离加上悬挂点到最右端的距离。

3. 递归结构：每个子树可以用一个三元组 $(weight,left,right)$ 表示：

   • $weight$：子树的总重量
   • $left$：子树重心到最左端的距离
   • $right$：子树重心到最右端的距离

算法设计

由于 $s\le 6$，我们可以使用状态压缩动态规划结合深度优先搜索：

1. 状态表示：用位掩码 $mask$ 表示使用的石头集合

2. 状态存储：$dp[mask]$ 存储该集合能形成的所有 $(weight,left,right)$ 三元组

3. 初始状态：单个石头 $i$ 的状态为 $(w_i,0,0)$

4. 状态转移：对于每个 $mask$，枚举其所有非空真子集 $leftMask$，计算：

   • $rightMask=mask\oplus leftMask$
   • 对于 $dp[leftMask]$ 和 $dp[rightMask]$ 中的每对三元组，计算合并后的新状态

5. 合并计算：

   • 总重量：$weight=L.weight+R.weight$
   • 距离：$a=\frac{R.weight}{weight}$, $b=\frac{L.weight}{weight}$
   • 左半宽度：$leftWidth=\max (a+L.left,R.left-b)$
   • 右半宽度：$rightWidth=\max (b+R.right,L.right-a)$

复杂度分析

• 状态数：$2^s=64$
• 每个状态的三元组数量在最坏情况下可能达到 $C(s)$（卡特兰数），但由于 $s\le 6$，实际可接受
• 总体复杂度在合理范围内

代码实现

// Mobile Computing
// UVa ID: 1354
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-23
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;// 表示一个子树的状态：重量、左半宽度、右半宽度
struct Node {double weight, left, right;Node(double w, double l, double r) : weight(w), left(l), right(r) {}
};vector<Node> dp[1 << 6];  // dp[mask] 存储该掩码对应的所有可能子树状态
int s;                    // 石头数量
vector<int> w;            // 石头重量
double room;              // 房间宽度
bool visited[1 << 6];     // 标记状态是否已计算// 深度优先搜索计算所有可能的子树组合
void dfs(int mask) {if (visited[mask]) return;  // 已计算过，直接返回visited[mask] = true;// 单个石头的情况if (__builtin_popcount(mask) == 1) {int i = __builtin_ctz(mask);  // 找到最低位的 1 对应的石头索引dp[mask].push_back(Node(w[i], 0.0, 0.0));return;}// 枚举所有非空真子集进行合并for (int leftMask = (mask - 1) & mask; leftMask > 0; leftMask = (leftMask - 1) & mask) {int rightMask = mask ^ leftMask;  // 补集作为右子树dfs(leftMask);   // 计算左子树dfs(rightMask);  // 计算右子树// 合并左右子树的所有可能组合for (const Node& L : dp[leftMask]) {for (const Node& R : dp[rightMask]) {double totalWeight = L.weight + R.weight;double a = R.weight / totalWeight;  // 左子树重心到整体重心的距离double b = L.weight / totalWeight;  // 右子树重心到整体重心的距离// 计算新的左右半宽度double leftWidth = max(a + L.left, R.left - b);double rightWidth = max(b + R.right, L.right - a);// 添加新状态dp[mask].push_back(Node(totalWeight, leftWidth, rightWidth));}}}
}int main() {int T;cin >> T;while (T--) {cin >> room;cin >> s;w.resize(s);for (int i = 0; i < s; i++) cin >> w[i];int total = (1 << s) - 1;  // 所有石头的位掩码// 初始化for (int i = 0; i <= total; i++) {dp[i].clear();visited[i] = false;}// 计算所有可能的组合dfs(total);// 寻找满足条件的最大宽度double best = -1.0;for (const Node& nd : dp[total]) {double width = nd.left + nd.right;if (width < room - 1e-9) {  // 考虑浮点精度误差if (width > best) best = width;}}// 输出结果if (best < 0) {cout << "-1\n";} else {cout << fixed << setprecision(15) << best << "\n";}}return 0;
}

总结

本题通过状态压缩动态规划枚举所有可能的子树组合，利用力矩平衡原理和几何关系计算 $\text{mobile}$ 的宽度。关键在于将每个子树抽象为 $(weight,left,right)$ 三元组，这样无论子树内部结构多复杂，都能正确计算出合并后的宽度。算法充分利用了 $s\le 6$ 的小数据范围，通过位运算高效枚举所有可能状态。