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2025-03-05 学习记录--C/C++-PTA 习题5-7 使用函数求余弦函数的近似值

news 来源：原创 2025/5/15 6:24:33

合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。💪🏻

一、题目描述 ⭐️

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二、代码（C语言）⭐️

`1.0`版本 ❌

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// 计算阶乘的函数
int getMultiply(int n) {
    int result = 1; // 初始化结果为 1
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        result *= i; // 累乘计算阶乘
    }
    return result; // 返回阶乘结果
}

// 计算泰勒级数中每一项的函数
double getItem(double x, int i) {
    // 返回当前项的值：x^i / i!
    return pow(x, i) / getMultiply(i);
}

// 计算余弦函数的泰勒级数展开
double funcos(double e, double x) {
    int i = 0;            // 当前项的指数，初始为 0
    int count = 0;        // 计数器，用于判断当前项是否需要加负号
    double item = 1;      // 当前项的值，初始为第一项 1（x^0 / 0! = 1）
    double result = 1;    // 最终结果，初始为第一项 1

    // 循环计算每一项，直到当前项的绝对值小于精度 e
    while (fabs(item) >= e) {
        count++;         // 计数器加 1
        i += 2;          // 指数增加 2，因为余弦级数的项是偶数幂
        item = getItem(x, i); // 计算当前项的值
        if (count % 2 != 0) {
            item *= (-1); // 如果计数器是奇数，当前项取负
        }
        result += item;  // 将当前项累加到结果中
    }

    return result; // 返回最终结果
}

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`2.0`版本 ✅

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1.0版本的代码通过计算阶乘来实现泰勒级数展开，但当 x 较大或 e 较小时，阶乘会迅速增长，导致数值溢出或精度丢失。为了避免这些问题，我们需要优化代码，避免直接计算阶乘。

优化思路： 👇🏻

避免直接计算阶乘：使用递推公式计算每一项的值，而不是每次都重新计算阶乘。

减少重复计算：每次计算新项时，利用前一项的结果，避免重复计算。

double funcos(double e, double x) {
    double result = 1.0; // 最终结果，初始为第一项 1
    double item = 1.0;   // 当前项的值，初始为第一项 1
    int n = 2;           // 从第二项开始计算
    int sign = -1;       // 符号，初始为负

    // 循环计算每一项，直到当前项的绝对值小于精度 e
    while (fabs(item) >= e) {
        // 递推公式计算新项：item = item * (x^2) / (n * (n-1))
        item *= (x * x) / ((n - 1) * n);
        result += sign * item; // 根据符号累加到结果中
        sign *= -1;            // 符号取反
        n += 2;                // 更新 n，每次增加 2
    }

    return result;
}

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【注意 📢 】在 C 语言中，double 类型的初始值后加小数点（如 1.0）是为了明确表示这是一个浮点数常量，而不是整数常量。

浮点数与整数的区别：
整数常量：例如 1，默认是 int 类型。
浮点数常量：例如 1.0，默认是 double 类型。

在 C 语言中，1 和 1.0 是不同的：
1 是整数常量，类型为 int。
1.0 是浮点数常量，类型为 double。