从零开始的C++学习生活 13:红黑树全面解析

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目录

前言

1. 红黑树的概念

1.1 红黑树的规则

1.2 红黑树如何保证平衡？

2. 红黑树的实现

3.1 基本结构

3.2 插入操作详解

3.2.1 变色

情况1：叔叔节点存在且为红色 (变色)

情况2：叔叔节点不存在或为黑色（旋转+变色）

单旋情况：

双旋情况：

3.3 查找操作

3.4 红黑树的验证

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前言

前面我们学习了AVL树，一种高级的二叉搜索树，通过平衡因子控制树的高低差不超过2来保持树的平衡，可以大幅增加查找数据的效率

而今天，我们又有一种由AVL树而来的变种:红黑树。同样是高级的二叉搜索树，红黑树同样限制了树的最大高度来增加效率，但是方法有所差异

我将深入探讨红黑树的原理、特性及实现细节，帮助你全面理解这一重要数据结构的工作原理。

1. 红黑树的概念

红黑树是一种特殊的二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色（红色或黑色）。通过对从根到叶子的任何路径上的节点颜色施加约束，红黑树确保没有任何一条路径会比其他路径长出两倍，因而保持了近似平衡的状态。

1.1 红黑树的规则

1. 颜色规则：每个节点不是红色就是黑色

2. 根节点规则：根节点必须是黑色的

3. 红色节点规则：红色节点的两个子节点必须是黑色的（即不能有连续的红色节点）

4. 黑色高度规则：从任意节点到其所有NULL节点的简单路径上，包含相同数量的黑色节点

总地来说，红黑树顾名思义，只有红和黑，没有蓝白树或者其他的。

当然这里红和黑只是一种标志，你要想变成其他的颜色其实也可以awa

回答我们所说的，通过上面的规则分析，可以知道不能由连续的红色节点，即父亲和孩子不能同时为红色，但兄弟就不用，毕竟都不是连续的。但是可以存在连续的黑色节点

要注意的是，所有路径上的黑色节点数量相同，这里的路径指的是从根节点到任意一个NULL节点，不是直观的只算有节点的路径。

这样能够保证红黑树的最小长度是全黑(N)，最大长度是红和黑交叉出现(2*N)，因此限制了红黑树的高度

1.2 红黑树如何保证平衡？

红黑树通过上述四条规则巧妙地维持了树的平衡：

• 根据规则4，从根到NULL节点的每条路径都有相同数量的黑色节点。设最短路径（全黑路径）的黑色节点数为bh

• 根据规则2和3，最长路径由黑红节点交替组成，其长度不超过2×bh

• 因此，最长路径不会超过最短路径的两倍

假设红黑树有N个节点，最短路径长度为h，则有：
2^h - 1 < N < 2^(2×h) - 1

由此可得 h ≈ logN，这意味着红黑树的插入、删除和查找操作的最坏情况时间复杂度都是O(logN)。

与AVL树相比，红黑树对平衡的控制相对宽松，这使得在插入相同数量节点时，红黑树所需的旋转操作更少，整体性能更加稳定。

2. 红黑树的实现

3.1 基本结构

红黑树有红色和颜色，因此我们利用枚举常量

// 枚举值表示颜色
enum Colour {RED,BLACK
};

红黑树的节点和AVL树的节点相似，只不过多了颜色

// 红黑树节点
template<class K, class V>
struct RBTreeNode {std::pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const std::pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _col(RED){}
};

红黑树本体也和AVL树极其相似

template<class K, class V>
class RBTree {typedef RBTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr;// 其他成员函数...
};

3.2 插入操作详解

红黑树的插入我们默认按照二叉搜索树的规则

如果是非空树，插入的一定是红色节点，因为红黑树保证每条路径上的黑色节点相同。如果插入黑色节点，那么会破坏相等这一条件

如果是空树，插入的节点作为根节点，颜色设为黑色

之后要检查并修复红黑树性质：如果父节点是黑色，插入完成；如果父节点是红色，需要根据叔叔节点的颜色进行不同的处理

3.2.1 变色

假设我们插入的节点之前是红色节点，那么就会出现红红的情况，因此我们需要进行变色处理

这里我们把新插入的节点37作为孩子，40作为父亲，45作为祖父，48作为叔叔

情况1：叔叔节点存在且为红色 (变色)

在这里叔叔存在且为红色，那么我们就把parent和uncle变为黑色，grandparent变为红色

因为grandparent为红色之后，可能grandparent的parent也为红色，例如下图，因此我们还需向上检查，把child赋值为grandparent

情况2：叔叔节点不存在或为黑色（旋转+变色）

单旋情况：

对于上面的右图，叔叔虽然存在但是为黑色，那么我们还需要进行旋转处理

这里我们专门把child，parent，grandparent拆分出来(uncle无需关心，同时把偷偷把child变到左边去，child在右边是双旋情况)

我们对grandparent进行右单旋，同时把parent变为黑色，grandparent变为黑色

到了这种情况，uncle要么不存在要么为黑色，我们不用管uncle到底存不存在，也不用进行任何操作，继续保持grandparent指向uncle即可，别问，问就是巧妙awa，可以细品

我们再把child赋值为parent，由于parent已经为黑色了，不管parent和parent是红色还是黑色，都不会冲突，因此可以直接退出

双旋情况：

对于child在parent的右边情况，和AVL树类似，我们需要先对parent进行左单旋，保证三个节点在一条直线上，才能对grandparent进行右单旋

插入过程完成代码:

bool Insert(const K& key, const V& value)
{if (_root == nullptr){_root = new Node({key,value});_root->_col = BLACK;return true;}Node* newnode = new Node({ key,value });newnode->_col = RED;Node* cur = _root;Node* child = cur;while (cur)//按照二叉搜索树的规则插入{if (key < cur->_kv.first){child = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_kv.first){child = cur;cur = cur->_right;}else{find(key)->_kv.second++;return true;}}if (key < child->_kv.first){child->_left = newnode;newnode->_parent = child;}else{child->_right = newnode;newnode->_parent = child;}child = newnode;Node* parent = child->_parent;while (child->_col == RED && parent && parent->_col == RED)
//当child为红色时并且parent为黑色时继续循环{parent = child->_parent;Node* pparent = parent->_parent;Node* uncle = nullptr;if (pparent == nullptr)break;else{if (pparent->_left == parent)uncle = pparent->_right;elseuncle = pparent->_left;if (uncle && uncle->_col == RED)//叔叔存在并且为红色直接变色{uncle->_col = BLACK;parent->_col = BLACK;pparent->_col = RED;child = pparent;parent = child->_parent;}else//叔叔不存在或者为黑色，需要旋转和变色{if (pparent->_left == parent){if (parent->_right == child){RotateL(parent);RotateR(pparent);child->_col = BLACK;pparent->_col = RED;}else{RotateR(pparent);parent->_col = BLACK;pparent->_col = RED;child = parent;parent = child->_parent;}}else{if (parent->_left == child){RotateR(parent);RotateL(pparent);child->_col = BLACK;pparent->_col = RED;}else{RotateL(pparent);parent->_col = BLACK;pparent->_col = RED;child = parent;parent = child->_parent;}}}}}_root->_col = BLACK;//在变色处理时可能会对根节点进行变动，根节点需要保持黑色return true;
}

3.3 查找操作

红黑树的查找操作与普通二叉搜索树完全相同，时间复杂度为O(logN)。

Node* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_kv.first < key) {cur = cur->_right;} else if (cur->_kv.first > key) {cur = cur->_left;} else {return cur;}}return nullptr;
}

3.4 红黑树的验证

验证红黑树是否满足所有规则是确保实现正确的关键。验证方法包括：

1. 检查根节点是否为黑色

2. 检查是否存在连续的红色节点

3. 检查所有路径的黑色节点数量是否相同

我们利用递归来实现

规则1很好判断

规则2我们对每个节点和其父节点检查即可

规则3我们可以定义一个专门统计一条路径上黑色节点数量的变量，一直传给下一个节点，随后判断左右两条路是否相等即可

bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) {if (root == nullptr) {// 到达叶子节点，检查黑色节点数量if (refNum != blackNum) {cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}// 检查是否存在连续的红色节点if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK) {blackNum++;}return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}