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【矩阵分析与应用】【第8章特征分析】【8.3 凯莱-哈密顿定理证明（伴随矩阵法）】

news 2025/10/23 15:35:34

【矩阵分析与应用】【第8章特征分析】【8.3 凯莱-哈密顿定理证明（伴随矩阵法）】

定理 (凯莱-哈密顿)
证明：利用伴随矩阵
- 步骤 1: 伴随矩阵的性质
- 步骤 2: 应用于特征矩阵
- 步骤 3: 伴随矩阵的结构分析
- 步骤 4: 代入恒等式
- 步骤 5: 展开并匹配系数
- 步骤 6: 构造 $p (A)$ 并证明其为零

定理 (凯莱-哈密顿)

$A$ 是一个 $\times n$ 的方阵
$p(λ)=det⁡(λI−A)p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式

将特征多项式展开为：
$p(λ)=λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0p(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + c_1 \lambda + c_0$

由凯莱-哈密顿定理指出：
$A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \dots + c_1 A + c_0 I = \mathbf{0}$

其中 $0\mathbf{0}$ 是 $\times n$ 的零矩阵， $I$ 是 $\times n$ 的单位矩阵。

证明：利用伴随矩阵

步骤 1: 伴随矩阵的性质

对于任意 $n×nn\times n$ 矩阵 $B$ ，其伴随矩阵 $adj⁡(B)\operatorname{adj}(B)$ 满足：
$\cdot \operatorname{adj}(B) = \operatorname{adj}(B) \cdot B = \det(B) I$

步骤 2: 应用于特征矩阵

令 $B=λI−AB=\lambda I- A$ 其代入公式
$(λI−A)⋅adj⁡(λI−A)=det⁡(λI−A)I(\lambda I - A) \cdot \operatorname{adj}(\lambda I - A) = \det(\lambda I - A) I$
由于 $p(λ)=det⁡(λI−A)p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ ，上式可写为：
$(λI−A)⋅adj⁡(λI−A)=p(λ)I(\lambda I - A) \cdot \operatorname{adj}(\lambda I - A) = p(\lambda) I$

步骤 3: 伴随矩阵的结构分析

对于 $n×nn\times n$ 的矩阵矩阵 $adj⁡(λI−A)\operatorname{adj}(\lambda I - A)$ 的每一项，都是 $λI−A\lambda I - A$ 的 $(n−1)×(n−1)(n-1)\times (n-1)$ 的代数余子式。因此是次数不超过 $n - 1$ 的 $λ\lambda$ 的多项式。故可将其表示为矩阵多项式：
$adj⁡(λI−A)=Bn−1λn−1+Bn−2λn−2+⋯+B1λ+B0\operatorname{adj}(\lambda I - A) = B_{n-1} \lambda^{n-1} + B_{n-2} \lambda^{n-2} + \cdots + B_1 \lambda + B_0$
其中 $B_0,B_1,...,B_{n-1}$ 是 $n×nn\times n$ 的常数矩阵。

步骤 4: 代入恒等式

将特征多项式 $p(λ)p(\lambda)$ 和展开式 $adj⁡(λI−A)\operatorname{adj}(\lambda I - A)$ 代入恒等式： $\cdot \operatorname{adj}(B) = \operatorname{adj}(B) \cdot B = \det(B) I$

$(λI−A)⋅(Bn−1λn−1+Bn−2λn−2+⋯+B1λ+B0)=det⁡(λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0)I(\lambda I - A) \cdot (B_{n-1} \lambda^{n-1} + B_{n-2} \lambda^{n-2} + \cdots + B_1 \lambda + B_0) = \det(\lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + c_1 \lambda + c_0) I$

步骤 5: 展开并匹配系数

左边：
$λI⋅(Bn−1λn−1+Bn−2λn−2+⋯+B0)−A⋅(Bn−1λn−1+Bn−2λn−2+⋯+B0)=Bn−1λn+Bn−2λn−1+⋯+B0λ−ABn−1λn−1−ABn−2λn−2−⋯−AB0=Bn−1λn+(Bn−2−ABn−1)λn−1+(Bn−3−ABn−2)λn−2+⋯+(B0−AB1)λ−AB0\begin{align*} &\lambda I \cdot (B_{n-1} \lambda^{n-1} + B_{n-2} \lambda^{n-2} + \cdots + B_0) - A \cdot (B_{n-1} \lambda^{n-1} + B_{n-2} \lambda^{n-2} + \cdots + B_0) \\ &= B_{n-1} \lambda^n + B_{n-2} \lambda^{n-1} + \cdots + B_0 \lambda - A B_{n-1} \lambda^{n-1} - A B_{n-2} \lambda^{n-2} - \cdots - A B_0 \\ &= B_{n-1} \lambda^n + (B_{n-2} - A B_{n-1}) \lambda^{n-1} + (B_{n-3} - A B_{n-2}) \lambda^{n-2} + \cdots + (B_0 - A B_1) \lambda - A B_0 \end{align*}$
右边：
$Iλn+cn−1Iλn−1+⋯+c1Iλ+c0II\lambda^n + c_{n-1}I\lambda^{n-1} + \dots + c_1I \lambda + c_0I$
此为关于 $λ\lambda$ 的矩阵恒等式，两边同次幂系数必须相等，得到方程组：
$λn:Bn−1=Iλn−1:Bn−2−ABn−1=cn−1Iλn−2:Bn−3−ABn−2=cn−2I⋮λ1:B0−AB1=c1Iλ0:−AB0=c0I\begin{aligned} \lambda^n &: & B_{n-1} &= I \\ \lambda^{n-1} &: & B_{n-2} - A B_{n-1} &= c_{n-1} I \\ \lambda^{n-2} &: & B_{n-3} - A B_{n-2} &= c_{n-2} I \\ &\vdots & & \\ \lambda^1 &: & B_0 - A B_1 &= c_1 I \\ \lambda^0 &: & - A B_0 &= c_0 I \end{aligned}$

步骤 6: 构造 $p (A)$ 并证明其为零

考虑矩阵多项式 $A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \dots + c_1 A + c_0 I$

将方程组中的等式依次左乘 $An,An−1,…,A,IA^n , A^{n-1} , \dots ,A ,I$ 后相加：
$(AnBn−1)+(An−1Bn−2−AnBn−1)+(An−2Bn−3−An−1Bn−2)+⋯+(AB0−A2B1)+(−AB0)\begin{align*} &\quad (A^n B_{n-1}) \\ &+\ (A^{n-1}B_{n-2} - A^n B_{n-1}) \\ &+\ (A^{n-2}B_{n-3} - A^{n-1} B_{n-2}) \\ &+\ \cdots \\ &+\ (A B_0 - A^2 B_1) \\ &+\ (- A B_0) \end{align*}$
观察可知，左边所有中间项相互抵消，最终结果为零矩阵。
右边相加结果为： $An+cn−1An−1+⋯+c1A+c0I=p(A)A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \dots + c_1 A + c_0 I =p(A)$ ，因此： $p (A) = 0$