裴蜀定理（Bézout‘s identity）

裴蜀定理（Bézout's identity）是数论中的一个基本定理，它描述了整数线性组合与最大公约数之间的关系。定理的内容如下：

定理陈述

对于任意两个整数 a和 b（不同时为零），存在整数 x和 y，使得：

a⋅x+b⋅y=gcd(a,b)

其中 gcd(a,b)是 a和 b的最大公约数。

关键点

• ​存在性​：定理保证了整数 x和 y的存在，但这些整数不一定是唯一的。实际上，有无穷多对整数 (x,y)满足该等式。

• ​推广​：裴蜀定理可以推广到多个整数的情况。对于 n个整数 a1​,a2​,…,an​（不全为零），它们的最大公约数 d=gcd(a1​,a2​,…,an​)可以表示为这些整数的线性组合，即存在整数 x1​,x2​,…,xn​，使得：

  a1​x1​+a2​x2​+⋯+an​xn​=d

• ​逆定理​：如果存在整数 x和 y使得 ax+by=d，那么 d一定是 gcd(a,b)的倍数。特别地，当 d=gcd(a,b)时，等式成立。

例子说明

考虑 a=12和 b=18，它们的最大公约数是 gcd(12,18)=6。根据裴蜀定理，存在整数 x和 y使得：

12x+18y=6

例如，取 x=2和 y=−1（因为 12×2+18×(−1)=24−18=6）。或者取 x=−1和 y=1（因为 12×(−1)+18×1=−12+18=6）。

应用与重要性

• ​数论基础​：裴蜀定理是欧几里得算法的基础，用于计算最大公约数，并扩展求解线性丢番图方程。

• ​线性丢番图方程​：方程 ax+by=c有整数解当且仅当 gcd(a,b)整除 c。这是裴蜀定理的直接推论。

• ​模运算​：在密码学和编码理论中，裴蜀定理用于求解模逆元，例如在RSA加密算法中。

总之，裴蜀定理揭示了整数线性组合与最大公约数之间的深刻联系，是数论和代数中的重要工具。