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AVL树手撕，超详细图文详解

news 2025/10/22 11:24:52

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在这里插入图片描述

AVL树的结构：
AVL树相比二叉树多了平衡因子和parent指针（用来更新平衡因子）。
首先AVL树的节点我们需要封装到一个结构体AVLTreeNode中进行说明，这个节点的结构体中有一个键值对，pair<K,V>_kv;是用来存储节点的键值对的，在关联式容器中，每个节点都需要保存“键”和”值“的组合，如果要插入一个元素，需要明确插入的键是什么，对应的值是什么。_kv就是来存储这些信息的。还需要定义一个AVLTreeNode<K,V>类型的指针_left,用于指向当前节点的左子节点。定义一个指针_right,用于指向当前节点的右子节点，_parent用于指向当前节点的父节点。还需要有一个整型成员变量_bf,即平衡因子。

定义一个AVLTreeNode的构造函数，参数是一个 pair<K,V>类型的常量引用kv，用于初始化节点的键值对数据。对_left,_right,_parent这些指针初始化为nullptr,表示当前的节点初始化没有左节点，右节点，父节点，平衡因子是0.表示初始化节点的左右子树高度相同。
在AVLTree树中，树的根节点为nullptr。

#pragma once
#include<iostream>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V>_kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){ }
};template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树的节点插入

如果要插入，先判断插入的节点与当前节点进行对比，小于的插入到左边，大于的插入到右边，如果相等就返回false，这一步也就是去重操作，跟父亲节点进行对比，如果大于父亲节点，那就插入到父亲节点的右边，小于父亲节点就插入到父亲节点的左边。
这些步骤跟二叉搜索树是类似的，接下来看一看不一样的地方在哪里，AVL树需要更新平衡点，就需要父节点的链接，将cur->_parent=parent，链接好了之后，开始了解平衡因子是怎么运作的？

平衡因子的更新：

平衡因子=右子树高度-左子树高度
只有子树高度变化才会影响平衡因子的变动。
插入一个节点会引起平衡因子的变动，如果新增节点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增节点在parent的左子树，parent的平衡因子–。
parent所在子树的高度决定了是否会继续向上更新。

更新停止的条件：

第一种情况：更新平衡因子之后parent=0，说明在更新之前parent是-1或者1,
要么是原来有左子树，parent=-1，之后插入了右子树，parent ++ =0;
要么是原来有右子树，parent=1,之后插入了左子树，parent – – =0。

第二种情况：更新平衡因子之后parent=-1或者1，说明在更新之前parent是0
说明在更新之前，左右子树的高度是一样的，新插入的节点打破了这一平衡，
新插入节点在左子树，parent=-1；新插入节点在右子树，parent=1。
在这里插入图片描述
第三种情况：
更新平衡因子之后的parent是2或者-2.
也就是说更新之前的parent是1，新插入了节点，影响了右子树的变化，更新parent为2
更新之前的parent是-1，新插入了节点，影响了左子树的变化，更新parent为-2.
在这里插入图片描述

template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; }Node* cur = _root; Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; }else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; }else { return false; }}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; }else { parent->_right = cur; }cur->_parent = parent;//链接父亲//更新平衡因子while (parent){if (cur = parent->_right)  parent->_bf++; else  parent->_bf--; if (parent->_bf == 0) { break; }else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) {cur= parent ; parent = parent->_parent; }else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) {//这里树已经不平衡了，所以要进行旋转处理break;}else{ assert(false); }}return true;}private:Node* _root = nullptr;
};

旋转的说明：

记住：旋转是因为不平衡所以旋转。哪一端高就需要被优化，右边高向左旋转，调整为一样高的（左单旋）；左边高向右旋转，调整为一样高的（右单旋）。
在这里插入图片描述

这里看图画的很清楚，首先要给节点命名，Node* subL=parent->_left,subL作为parent的左子树节点，Node* subLR=subL->_right,subLR作为subL的右子树节点，旋转的时候，让parent->_left指向subLR。至少图中是这样子完成右单旋的。实际上，图中和代码实际的操作是不一样的。
这里需要改进：那么subLR的位置为空该怎么办？
如果直接让subL->_right=subLR,此时的subLR是不能直接指向parent节点（看原图中），所以这里也需要改进一下。
接着上述代码,if(subLR!=nullptr),subLR->_parent=parent;不为空就可以指向parent.
修改父亲的指向，subL->_right=parent;parent->_parent=subL;
还需要该进：如果更新好了之后，这些节点是一个大AVL树的一部分呢，还需要向上进行调整
这里我们这样来设定，如果父亲节点为根节点_root,那么就让父亲节点的父亲节点为根节点，这里又发现我们之前设置的一个漏洞，在旋转更新新的父亲节点的时候，要把旧的父亲节点的父亲保存起来，也就是说要提前保存好爷爷节点。Node* grandParent = parent->_parent;
如果父亲节点为根节点，也就是说爷爷节点指向空，此时这个_root=subL,而且还要进行链接，subL->_parent = nullptr;

如果爷爷节点不为空，也就是说我们旋转的这一部分是大AVL树的一部分，如果旋转的这一部分在爷爷节点的左子树，链接grandParent->_left=subL;如果链接的这一部分在爷爷的右子树，链接grandparent->_right=subL,然后还要申明一下subL->_parent=grandparent

最后改一下平衡因子：parent->_bf = subLR->_bf = 0。

上代码！

//右单旋
void rotateRight(Node* parent)
{//定义节点Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//开始旋转：先认子再认父parent->_left = subLR;if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent;//保存爷爷节点subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//判断是不是AVL子树或者整个AVL树//是整个AVL树if (parent==_root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; }else{//子树，原根是爷爷节点左节点，现在是爷爷节点左节点指向新根if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subL; }else { grandParent->_right = subL; }subL->_parent = grandParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

在这里插入图片描述

左单旋：

先定义subR和subRL的指针指向，然后开始左旋，先让parent的左子树指向subRL,再来判断，subRL是不是指向为空，不为空，就可以让subRL的父亲节点跟parent进行链接。
然后subR的左子树指向parent,parent的父亲节点指向subR,这样就做好了链接，

再来判断左单旋的这一部分是不是大AVL树的一部分，这样就要先在左单旋节点链接之前保存好爷爷节点的指针，Node* grandParent=parent->_parent;
如果爷爷节点为空，那么就说明我们刚单旋的一部分，subR是根节点，而且这个subR的父亲节点要置为空；
如果爷爷节点不为空，那么：原来爷爷节点指向左子树是parent,现在替换为爷爷节点指向左子树是subR;
原来爷爷节点指向右子树是parent,现在替换为爷爷节点指向右子树是subR.
然后需要申明subR的父亲节点是爷爷节点。

最后更新一下平衡因子。

//左单旋
void rotateLeft(Node* parent)
{//定义节点Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//旋转：先认子再认父parent->_right = subRL;if (subRL)  subRL->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent;//保存爷爷节点subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//判断是不是AVL子树或者整个AVL树//是整个AVL树if (parent==_root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; }else{//子树，原根是爷爷节点左节点，现在是爷爷节点左节点指向新根if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subR; }else { grandParent->_right = subR; }subR->_parent = grandParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

左右双旋：

在这里插入图片描述
演化规则：

在这里插入图片描述

先进行左单旋：插入节点subLR部分太高了，右边太高往左边旋转变平衡，降低树的高度，这一部分将以父亲节点的根为旋转点，parent->_left,可以直接调用左单旋的代码，rotateLeft(parent->_left),
然后进行右单旋：调正之后使得左边变高了，所以再次往右边进行调整，这里可以直接调用右单旋的代码，旋转点是parent. rotateRight(parent)
这一步就大致完成了我们的左右双旋步骤。

但是：（这些要放在调用左单旋，右单旋的前面进行记录）（为什么博主没有放在前面，目的是梳理代码完成的过程。）
上述调用左单旋，右单旋的会将所有的平衡因子改0，但是旋转的时候我们还需要旋转前的节点，所以首先将平衡因子会改变的几个节点(subL,subLR)命名并存储，Node* subL=parent->_left; Node* subLR=subL->_right;
存储新的父亲节点subLR的平衡因子。

然后到了更新平衡因子的一步了：
如果subLR的平衡因子为0，那就说明这个树只有一个根节点，根节点的左节点，还有一个就是subLR的节点（插入在根节点左节点的右边）；
如果subLR的平衡因子为-1，那就说明插入的节点插入在C的位置，

在这里插入图片描述

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{//定义节点Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf=subLR->_bf;//记录平衡因子rotateLeft(parent->_left);//左旋rotateRight(parent);//右旋//看图记录平衡因子if (bf == -1) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; }else if (bf == 1) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = -1; parent->_bf = 0; }else if (bf == 0) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 0; }else { assert(false); }}

总结左右双旋和右单旋：

在这里插入图片描述

右左双旋：

在这里插入图片描述
演化规则：

在这里插入图片描述

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{//定义节点Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//记录平衡因子rotateRight(parent->_right);//右旋rotateLeft(parent);//左旋//看图记录平衡因子if (bf == -1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; }else if (bf == 1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; }else if (bf == 0) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = 0; }else { assert(false); }
}

完整的插入代码：

直接来看代码：（看注释)

bool insert(const pair<K, V>& kv)
{//如果根节点为空if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; }//cur从根节点开始遍历，大于根节点插入到右边，小于根节点插入到左边Node* cur = _root; Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; }else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; }else { return false; }}cur = new Node(kv);//判断插入到父亲节点的左还是右if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; }else { parent->_right = cur; }//链接父亲cur->_parent = parent;//链接父亲//更新平衡因子while (parent){//平衡因子的规则：节点插入到右边，父亲节点++；节点插入到左边，父亲节点--if (cur == parent->_right) parent->_bf++;elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 0) { break; }else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { cur = parent; parent = parent->_parent; }else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//这里树已经不平衡了，所以要进行旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { rotateRight(parent); }else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { rotateLeft(parent); }else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); }else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); }else { assert(false); }break;}else { assert(false); }}return true;
}

完整代码：

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K,class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V>_kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){ }};template<class K,class V>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public://右单旋void rotateRight(Node* parent){//定义节点Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//开始旋转：先认子再认父parent->_left = subLR;if (subLR) subLR->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent;//保存爷爷节点subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//判断是不是AVL子树或者整个AVL树//是整个AVL树if (parent==_root) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; }else{//子树，原根是爷爷节点左节点，现在是爷爷节点左节点指向新根if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subL; }else { grandParent->_right = subL; }subL->_parent = grandParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;}//左单旋void rotateLeft(Node* parent){//定义节点Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//旋转：先认子再认父parent->_right = subRL;if (subRL)  subRL->_parent = parent; Node* grandParent = parent->_parent;//保存爷爷节点subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//判断是不是AVL子树或者整个AVL树//是整个AVL树if (parent==_root) { _root = subR; subR->_parent = nullptr; }else{//子树，原根是爷爷节点左节点，现在是爷爷节点左节点指向新根if (parent == grandParent->_left) { grandParent->_left = subR; }else { grandParent->_right = subR; }subR->_parent = grandParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){//定义节点Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf=subLR->_bf;//记录平衡因子rotateLeft(parent->_left);//左旋rotateRight(parent);//右旋//看图记录平衡因子if (bf == -1) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; }else if (bf == 1) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = -1; parent->_bf = 0; }else if (bf == 0) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 0; }else { assert(false); }}//右左双旋void RotateRL(Node* parent){//定义节点Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//记录平衡因子rotateRight(parent->_right);//右旋rotateLeft(parent);//左旋//看图记录平衡因子if (bf == -1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; }else if (bf == 1) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; }else if (bf == 0) { subRL->_bf = 0; subR->_bf = 0; parent->_bf = 0; }else { assert(false); }}bool insert(const pair<K, V>& kv){//如果根节点为空if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; }//cur从根节点开始遍历，大于根节点插入到右边，小于根节点插入到左边Node* cur = _root; Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; }else if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; }else { return false; }}cur = new Node(kv);//判断插入到父亲节点的左还是右if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; }else { parent->_right = cur; }//链接父亲cur->_parent = parent;//链接父亲//更新平衡因子while (parent){//平衡因子的规则：节点插入到右边，父亲节点++；节点插入到左边，父亲节点--if (cur == parent->_right) parent->_bf++;elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 0) { break; }else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { cur = parent; parent = parent->_parent; }else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//这里树已经不平衡了，所以要进行旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { rotateRight(parent); }else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { rotateLeft(parent); }else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); }else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); }else { assert(false); }break;}else { assert(false); }}return true;}void Inorder(){_Inorder(_root);cout << endl;}private:void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr) { return ; }_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first <<":"<< root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};

测试：

#include"AVLTree.h"
// 测试代码
void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试用例int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试用例//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.insert({ e, e });}t.Inorder();}int main()
{TestAVLTree1();return 0;
}