算法日记33：14届蓝桥C++B冶炼金属（二分答案）

一、题目：

二、题解：

1、思路解析：

1）首先我们可以发现题目的样例数量为（$n<=1000$），因此我们可以考虑$O(n\ast lo{g}^n)$时间复杂度的算法

2）通过观察题目我们可以发现，要求我们求解答案的最小值与最大值，且答案拥有一定的单调性

3）因此我们的第一个思想是用二分答案求解：

2、二分答案详细过程：

1）找变量关系，判断合法区间

• 通过画图我们发现，当转化率$V$不断增加时，$b[i]$的变化如下，虽然一整段$b[i]$的值单调性，但是我们可以对其进行分段
  • 二分：$a[i]/x<=b[i]$的区间，求解最小值（蓝色区间）
  • 二分：$a[i]/x>=b[i]$的区间，求解最大值（红色区间）
    

2）判断区间端点

1^# 找最小值

• 二分函数构建
  • 此时，我们发现其合法区间为$<=b[i]$（因为我们要使得我们想要求解的最值处于划分的区间边界)
  • 因此 我们可以通过判断$a[i]/x$的值来判断是否合法(最后return r)
    

//合法区间<=b[i]的值
bool check_min(ll x) //x表示当前的转化率
{
  for(ll i=1;i<=n;i++) 
  {
    if(a[i]/x>b[i]) return false;
  }
  return true;
}

• 二分入口构建
  • 当check_min(mid)成立时，说明此时$a[i]/x<=b[i]$，$mid$偏大，因此r=mid
  • 最后reutrn r即可(如图所示，$r$所指向的部分为答案)

  ll l = 1, r = 1e9 + 7;
  while(l+1<r)  //二分答案找最满足条件的最小值
  {
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(check_min(mid))   r=mid; 
    else l=mid;
  }
  v_min=r;

2^#找最大值

• 二分函数构建
  • 此时，我们发现其合法区间为$>=b[i]$（因为我们要使得我们想要求解的最值处于划分的区间边界)
  • 因此 我们可以通过判断$a[i]/x$的值来判断是否合法(最后return L)
    

bool check_max(ll x) //合法区间>=b[i]的值
{
  for(ll i=1;i<=n;i++) 
  {
    if(a[i]/x<b[i]) return false;
  }
  return true;
}

• 二分入口构建
  • 当check_min(mid)成立时，说明此时$a[i]/x>=b[i]$，$mid$偏小，因此l=mid
  • 最后reutrn l即可(如图所示，$l$所指向的部分为答案)

 l=1,r=1e9+7;
  while(l+1<r)  //二分答案找满足条件的最大值
  {
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(check_max(mid)) l=mid;
    else r=mid;
  }
  v_max=l;

3、完整代码解析：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 7;
ll a[N], b[N], n;

//合法区间<=b[i]的值
bool check_min(ll x) //x表示当前的转化率
{
  for(ll i=1;i<=n;i++) 
  {
    if(a[i]/x>b[i]) return false;
  }
  return true;
}

bool check_max(ll x) //合法区间>=b[i]的值
{
  for(ll i=1;i<=n;i++) 
  {
    if(a[i]/x<b[i]) return false;
  }
  return true;
}

int main() {
  cin >> n;
  ll v_min,v_max;

  for (int i = 1; i <= n; i++) 
  {
    cin >> a[i] >> b[i];
  }
  //转化率V->:不断增加        Vmin       Vmax
  //结果:>b[i] >b[i]  >b[i] =b[i] =b[i] =b[i]  <b[i] <b[i] <b[i]
  ll l = 1, r = 1e9 + 7;
  while(l+1<r)  //二分答案找最满足条件的最小值
  {
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(check_min(mid))   r=mid; 
    else l=mid;
  }
  v_min=r;

  l=1,r=1e9+7;
  while(l+1<r)  //二分答案找满足条件的最大
  {
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(check_max(mid)) l=mid;
    else r=mid;
  }
  v_max=l;

    
  cout << v_min << ' ' << v_max;
  return 0;
}