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从零开始的C++学习生活 11:二叉搜索树全面解析

news 2025/10/22 8:55:44

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前言

1. 二叉搜索树的基本概念

1.1 什么是二叉搜索树？

1.2 ⼆叉搜索树的性能分析

2. 二叉搜索树的基本操作

2.1 查找操作

2.2 插入操作

2.3 删除操作

4. 二叉搜索树key和key/value使用场景

4.1 key搜索场景：

4.2 key/value搜索场景

5. 二叉搜索树的性能分析与优化

5.1 时间复杂度分析

5.2 二叉搜索树的局限性

5.3 解决方案：平衡二叉搜索树

结语

上一篇：从零开始的C++学习生活 10:继承和多态-CSDN博客

前言

在计算机科学中，高效的数据搜索是许多应用的核心需求。

一般的STL如string,vector和list的查找数据的时间复杂度都是O(N)，这对于大量的数据检索是完全不够的

二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）作为一种基础而重要的数据结构，以其独特的性质在搜索、插入和删除操作中展现出优异的性能。它不仅是理解更复杂树结构（如AVL树、红黑树）的基础，更是许多实际应用场景中的首选解决方案。

我将深入探讨二叉搜索树的原理、实现和应用，帮助你全面掌握这一重要数据结构，为学习更高级的树形结构打下坚实基础。

1. 二叉搜索树的基本概念

1.1 什么是二叉搜索树？

二叉搜索树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：

若左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于等于根节点的值
若右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于等于根节点的值
左右子树也都是二叉搜索树

这种有序性使得我们能够高效地进行查找、插入和删除操作。

1.2 ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N 所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

另外需要说明的是，二分查找也可以实现级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

动态性能：支持高效的动态插入和删除
有序存储：数据自然有序，便于范围查询
灵活扩展：可以轻松扩展为更复杂的平衡树结构

2. 二叉搜索树的基本操作

2.1 查找操作

查找是二叉搜索树最基本的操作

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找

2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在

3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x

bool Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_key < key) {cur = cur->_right;  // 在右子树中查找} else if (cur->_key > key) {cur = cur->_left;   // 在左子树中查找} else {return true;        // 找到目标}}return false;               // 未找到
}

cur有两种情况:

1. 没有找到，cur为空指针->退出循环，返回false

2. 找到了，返回true

时间复杂度：

最好情况：O(log n) - 树完全平衡时
最坏情况：O(n) - 树退化为链表时

2.2 插入操作

插入操作需要保持二叉搜索树的性质：

若左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于等于根节点的值
若右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于等于根节点的值

因此我们分以下情况:

树为空，即根节点都不存在，那么直接把插入的节点当作根节点
树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点

bool Insert(const K& key) {if (_root == nullptr) {//树为空_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 寻找插入位置while (cur) {parent = cur;if (cur->_key <= key) {cur = cur->_right;} else{cur = cur->_left;}}// 创建新节点并插入cur = new Node(key);if (parent->_key < key) {parent->_right = cur;} else {parent->_left = cur;}return true;
}

2.3 删除操作

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩子均为空

2. 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空，那么删除节点的父节点则应该指向删除节点的右孩子

3. 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空，那么删除节点的父节点则应该指向删除节点的左孩子

4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空，那么这也是最复杂的情况

如果直接删除该节点，其父节点该指向哪里?左孩子还是右孩子?无法判断

因此我们使用替代法

对于要删除的节点N

1. 我们在N的左子树中找到最大的节点，然后把值替换给N，随后删除该节点

2. 我们也可以在N的右子树中找到最小的节点，然后把值替换给N，随后删除该节点

上面两种方法任意一个都可以

假设是方法2，如何在右子树中找到最小的节点?因为搜索二叉树一一定保证左子树的任意节点的值都小于自己，右子树的任意节点的值都大于自己，因此对于右子树我们一直往左孩子遍历，知道下个为空，那么该节点就是最小的

简单替换也不行，如果按这种方式找到了最小的节点，发现该节点还有右孩子，那么则要把其父节点指向右孩子

bool Erase(const K& key) {Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 查找要删除的节点while (cur) {if (cur->_key < key) {parent = cur;cur = cur->_right;} else if (cur->_key > key) {parent = cur;cur = cur->_left;} else {// 找到要删除的节点，分情况处理if (cur->_left == nullptr) {// 情况1&2：左子树为空或左右子树均为空if (parent == nullptr) {_root = cur->_right;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_right;} else {parent->_right = cur->_right;}}delete cur;} else if (cur->_right == nullptr) {// 情况3：右子树为空if (parent == nullptr) {_root = cur->_left;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = cur->_left;} else {parent->_right = cur->_left;}}delete cur;} else {// 情况4：左右子树均不为空 - 替换法删除// 寻找右子树的最小节点Node* minParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left) {minParent = minRight;minRight = minRight->_left;}// 替换值cur->_key = minRight->_key;// 删除最小节点if (minParent->_left == minRight) {minParent->_left = minRight->_right;} else {minParent->_right = minRight->_right;}delete minRight;}return true;}}return false;  // 未找到要删除的节点
}

4. 二叉搜索树key和key/value使用场景

4.1 key搜索场景：

key即为关键字，我们对于二叉树平衡的判断就是用key来判断的。

假设key为整型，那么很简单，直接整数之间的比较，例如4<5<6，4为5的左孩子，6为5的右孩子

假设key为string，那么就利用字符串的比较方式

总之不管key是什么，反正只需要对应的比较方式就可以

key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了

场景：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进⼩区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

// 车牌识别系统示例
class LicensePlateSystem {
private:BSTree<string> _plates;public:// 添加车牌bool addPlate(const string& plate) {return _plates.Insert(plate);}// 检查车牌是否存在bool checkPlate(const string& plate) {return _plates.Find(plate);}// 移除车牌bool removePlate(const string& plate) {return _plates.Erase(plate);}
};

4.2 key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value,value可以任意类型对象

这类似于函数中的映射，也可以把key理解为编号，按照编号的大小排序，查找也是查编号

但是修改的则是key所对应的value

场景：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

void demoDictionary() {BSTree<string, string> dict;// 添加单词翻译dict.Insert("apple", "苹果");dict.Insert("banana", "香蕉");dict.Insert("computer", "计算机");dict.Insert("programming", "编程");// 查询翻译string word;while (cout << "请输入单词: " && cin >> word) {auto node = dict.Find(word);if (node) {cout << "翻译: " << node->_value << endl;} else {cout << "未找到该单词" << endl;}}
}